Limite de fonctions à plusieurs variables

En effet, pas de DL mais à mon avis deux autres ingrédients que la majoration $|\sin t|\le t$, du même genre [|xy|\le\sqrt{x^2+y^2}|y|\quad\text{et}\quad |t|\le |\tan t|\ \text{pour tout $t$}.\] La première de ces deux inégalités est élémentaire, puisqu'elle est impliquée par l'évidence $|x|\le\sqrt{x^2+y^2}$ (elle-même équivalente à $0\le y^2$), mais on peut aussi « la voir en polaires » en écrivant $|xy|=\rho|\cos\theta|\cdot|y|\le\rho|y|$. Reste ensuite à remarquer que $\rho\le\tan\rho$ pour $\rho>0$.

Oui, on peut : lorsque $(x,y)\to(0,0)$, $\rho\to0$ et l'on a [\frac{\sin x\sin y}{\tan\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{\sin(\rho\cos\theta)\sin(\rho\sin\theta)}{\tan\rho}\sim\frac{\rho^2\cos\theta\sin\theta}{\rho}\sim\rho\cos\theta\sin\theta\]donc\[ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin x\sin y}{\tan\sqrt{x^2+y^2}}=0.\]Sens précis : pour $(x,y)$ donné différent de $(0,0)$, on note $\rho=\rho(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ et $\theta=\theta(x,y)$ l'unique élément de $\left]-\pi,\pi\right]$ tel que $(x,y)=(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)$ ; alors $\frac{\sin x\sin y}{\tan\sqrt{x^2+y^2}}-\rho(x,y)\cos\theta(x,y)\sin\theta(x,y)$ est négligeable devant $\rho(x,y)$ et donc tend vers $0$ lorsque $(x,y)$ tend vers $(0,0)$.

Il faut néanmoins se convaincre que les règles que l'on applique sur les équivalents, habituellement exprimées avec des fonctions d'une variable réelle ou des suites, s'étendent (par exemple : remplacer la variable $u$ dans $\sin u\stackrel{0}{\sim} u$ par la fonction de deux variables $\rho(x,y)\cos\theta(x,y)$ ; produit et quotient d'équivalents).