DL en 0 aberrant (s'il existe)
Bonsoir,
Je définis sur $[-1;1]$ la fonction $f(x)=\sqrt{1-\sqrt{1-x^2}}$
À la question "cette fonction admet-elle un DL d'ordre 3 en 0 ?" Ai-je raison de répondre par la négative ?
Voici ma justification:
"Si $f$ admettait un tel DL3(0) alors par troncature, elle admettrait un DL1(0) et $f$ serait donc dérivable en 0 or elle ne l'est pas puisque les limites à gauche et à droite de $\frac{f(x)}{x}$ valent respectivement $\frac{1}{\sqrt{2}}$ et $-\frac{1}{\sqrt{2}}$".
1°) Je souhaiterais savoir si mon raisonnement par l'absurde est correct ?
2°) Lorsque je calcule "classiquement" le DL par composition, j'obtiens une aberration (polynôme impair pour une fonction paire) mais je ne vois pas où la théorie est prise en défaut.
Merci pour vos réponses à mes deux questions.
Je définis sur $[-1;1]$ la fonction $f(x)=\sqrt{1-\sqrt{1-x^2}}$
À la question "cette fonction admet-elle un DL d'ordre 3 en 0 ?" Ai-je raison de répondre par la négative ?
Voici ma justification:
"Si $f$ admettait un tel DL3(0) alors par troncature, elle admettrait un DL1(0) et $f$ serait donc dérivable en 0 or elle ne l'est pas puisque les limites à gauche et à droite de $\frac{f(x)}{x}$ valent respectivement $\frac{1}{\sqrt{2}}$ et $-\frac{1}{\sqrt{2}}$".
1°) Je souhaiterais savoir si mon raisonnement par l'absurde est correct ?
2°) Lorsque je calcule "classiquement" le DL par composition, j'obtiens une aberration (polynôme impair pour une fonction paire) mais je ne vois pas où la théorie est prise en défaut.
Merci pour vos réponses à mes deux questions.
Réponses
-
f(1)=0 vraiment?
Désolé.
PS:
Mais je ne suis pas convaincu par ta réponse.
PS2:
Quand on fait un développement limité en x=0 de ce quotient on obtient sauf erreur:
$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}+O(x^2)$
PS3:
En même temps comment le quotient d'une quantité positive sur une quantité négative peut avoir une limite strictement positive quand on fait tendre x vers 0 par valeur négatif?
Le développement limité ci-dessus doit être seulement vrai pour x>0 et petit.
Ta fonction est paire.
PS4:
$\begin{align}\frac{\sqrt{1-\sqrt{1-x^2}}}{x}&=\frac{\sqrt{1-\sqrt{1-x^2}}\times \sqrt{1+\sqrt{1-x^2}} }{x\times \sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}}\\
&=\frac{\sqrt{1-(1-x^2)} }{x\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}}\\
&=\frac{\mid x \mid }{x\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}}
\end{align}$ -
Elle vaut 0 en 0 donc ton DL ne peut pas être correct Fin de partie !
Effectivement cette fonction n'est pas dérivable en 0 donc ne peut pas admettre un DL à l'ordre 1.
Ton erreur est simplement lors de la composition des DL. Quand tu fais le DL de $1-\sqrt{1-x^2}$, tu obtiens quelque chose de centré en $x=0$, et quand tu prends la racine de cette quantité, tu ne peux pas prendre le DL (vu que la racine carrée n'est pas dérivable en l'origine). -
Héhéhé:
Un abus d'utilisation d'esclave numérique. Merci.
PS:
Le DL donné c'était de $f(x)/x$ mais qui est faux pour x<0. -
bonsoir je maintiens mon propos quant à la non dérivabilité de f en 0:
preuve: $\frac{f(x)}{x} = \frac{\sqrt{(1-\sqrt{(1-x^2)})}}{x}$
$\frac{f(x)}{x} = \frac{|x|}{{x\times \sqrt{{1+\sqrt{1-x^2}}}}}$
le radicande au dénominateur tend vers 2 et mon affirmation en découle, la limite à gauche de 0 est négative et celle à droite est positive, il n'y a pas d'incohérence il me semble ...
En revanche mon argument ne tient pas si je me limite à [0;1] par exemple (f est dérivable à droite en 0) -
j'ai posté avant de lire vos messages, désolé
@ héhéhé: si je t'ai bien compris, tu confirmes donc que le DL demandé n'existe pas n'est-ce pas ? -
En effet, f n'est pas dérivable et tes dérivées à droite, à gauche sont correctes.
Mais on n'a pas besoin de dl. -
le but de l'exercice n'est pas de calculer la dérivée grâce à un DL mais de calculer un DL3(0), chose impossible puisque la fonction n'est pas dérivable en 0
-
@héhéhé: Quelque chose me chiffonne dans ton explication car après le premier DL, je factorise par le monôme de plus bas degré dans le radicande et j'obtiens $\frac{|x|}{\sqrt{2}}\times\sqrt{1+{petit}}$ et c'est là que les choses se gâtent...car je ne vois pas ce qui m'empêcherait de développer ce facteur et obtenir le polynôme impair annoncé.
-
Avec un terme en $\vert x \vert$, ça va être difficile d'obtenir un polynôme...
-
On a
$$f(x)=\frac1{\sqrt2}\vert x\vert + \frac1{8\sqrt2} \,\vert x\vert ^3 + o(x^3)$$
et ce qui vient avant le $o(x^3)$ n'est pas un polynôme impair, mais une fonction paire. -
bonjour GaBuZoMeu,
En effet c'est un polynôme en $|x|$ et non pas en x (c'est mon résultat): peut-on vraiment parler de "développement limité" ? Je ne le pense pas puisqu'un DL est "une approximation locale par une fonction polynomiale de la variable")
En résumé, je pense que nous avons obtenu le développement asymptotique de f selon une échelle contenant $|x|$.
Mon problème n'est pas calculatoire mais provient du "conflit" entre ce que je crois être un DL (voir rappel de définition supra) et des propriété des DL bien établies qui ne sont pas respectées ici: la dérivabilité de f en 0 et une approximation de nature polynomiale paire en la variable x de la fonction f.
En résumé:
Selon moi le DL demandé n'existe pas car en calculant correctement je n'obtiens pas une expression ayant toutes les propriétés attendues
J'espère vivement obtenir un éclaircissement et remercie déjà les contributeurs. -
Ce que j'ai écrit n'est pas un développement limité de $f$ au voisinage de $0$, puisque la "partie régulière" n'est pas un polynôme de $x$.
Par contre $f|_{[0,1]}$ et $f|_{[-1,0]}$ ont des développements limités au voisinage de $0$. Ça n'aurait pas de sens de dire que ces restrictions sont paires ou impaires. -
Comme tu l'as bien dit, ludo', si la fonction admettait un DL à un ordre au moins $1$, elle serait dérivable et le calcul des limites à gauche et à droite de $f(x)/x$ le dément (ce que la figure confirme visuellement).
Figure : la courbe de $f$ (en bleu), celle de $x\mapsto \frac1{\sqrt2}\vert x\vert + \frac1{8\sqrt2} \,\vert x\vert ^3$ (en vert), celle de $x\mapsto =\frac1{\sqrt2}x + \frac1{8\sqrt2} \, x^3$ (en rouge). Le point anguleux sur la courbe verte permet de visualiser que ce n'est pas une fonction polynomiale. -
Ce n'est pas un développement limité (car non polynomial) mais ça reste un développement asymptotique tout à fait valable.
-
Bonjour,
@ Héhéhé: je partage ton analyse (voir mon précédent message)
@GabuZomeu: La restriction à [0;1] est à envisager (voir message antérieur) mais reconnais que le résultat est quand même contre-intuitif: naïvement et sur la base des propriétés classiques, une fonction en $x^2$ admettant un DL au voisinage de 0 devrait avoir une partie polynomiale "paire" car issue d'un polynôme en $x$ (type $f(x) = g(x^2)$) dans lequel on effectuerait la substitution en $x^2$
Je sais qu'ici le développement de g est un polynôme en $x$ et $\sqrt{x}$ donc pas un simple polynôme en x et pourtant même en le sachant, le résultat final heurte mon "bon sens":
Quand peut-on donc affirmer a priori "si une fonction "paire" admet un DL alors celui-ci ne fait nécessairement intervenir que des exposants pairs dans sa partie polynomiale" ? (question angoissée:-S) -
Ton argument heuristique est étrange. Ce qui est vrai, c'est que si $f(x)=g(x^2)$ et si $g$ admet un DL, alors $f$ en admet un. Ici, la fonction $g:u\mapsto\sqrt{1-\sqrt{1-u}}$ n'admet pas de DL en $0$ (sa courbe a une tangente verticale à l'origine), ce qui illustre que la réciproque est fausse.
Par ailleurs, il est toujours vrai que si une fonction paire (définie sur un intervalle ouvert contenant $0$ donc) admet un DL à un ordre donné, alors la partie régulière de ce DL est un polynôme pair. Démonstration par unicité du DL (et la remarque que $o((-x)^n)=o(x^n)$). -
Non, je ne reconnais pas.
1°) La notion de fonction paire ne fait sens que pour une fonction dont le domaine de définition est symétrique par rapport à l'origine.
2°) Pour toute fonction paire admettant un développement limité à l'origine, la partie régulière de ce développement limité est un polynôme pair.
3°) Ta fonction $f$ est paire, mais elle n'admet pas de développement limité à l'origine.
4°) La fonction $f|_{[0,1]}$ admet un développement limité à l'origine, mais ce n'est pas une fonction paire (voir 1°)). -
Merci GaBuZoMeu , tes quatre points sont exactement la synthèse que je cherchais à établir sans y parvenir.
De mon point de vue il n'y a plus rien a ajouter. -
J'ajouterais tout de même quelque chose : ta fonction $f$ est faite exprès pour causer des problèmes. Ce n'est pas "la bonne fonction". Je m'explique : $y=f(x)$ est une solution de l'équation
$$y^4-2y^2+x^2=0\;.$$
Cette équation a deux solutions analytiques sur $]{-1},1[$ vérifiant $y(0)=0$, correspondant aux deux branches à l'origine de la courbe algébrique rouge. Ces deux solutions sont impaires et ont bien sûr des développements limités à tous les ordres, avec partie régulière impaire.
Ta fonction $f$ est égale à l'une des fonctions à gauche de $0$ et à l'autre à droite. Ces fonctions analytiques sont
$$\pm \mathrm{sign}(x)\sqrt{1-\sqrt{1-x^2}}\:.$$ -
merci pour cet supplément de culture mathématique.
-
Les fonctions analytiques de GaBuZomeu se réécrivent également : $x\mapsto \dfrac{\pm x}{\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}}=\dfrac{\pm x}{\sqrt{2} \cos \left(\frac{\arcsin (x)}{2}\right)}$, ce qui permet de mieux "voir" leur analycité sur $]-1,1[$.
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