Cherche fonction

gebrane · June 2018

Bonjour,
Je cherche une fonction f continue sur $I=\R$ ( non identiquement nulle ) vérifiant $$f\Big(\frac {2x}{1+x^2}\Big)=2f(x),\quad \forall x\in I$$
Si $I=\,]-1,1[$, je trouve comme candidate la fonction $x\mapsto \ln\Big(\dfrac{1+x}{1-x}\Big)$
Merci pour toute suggestion.

Tryss · June 2018

On a $f(1) = 2f(1)$, donc $f(1) = 0$

Maintenant, on considère $x_0 \geq 0$, et on défini par récurrence la suite $x_{n+1} = \frac{2x_n}{1+x_n^2}$

On peut montrer que $x_n$ tend vers 1, et comme $2^n f(x_0) = f(x_n)$, on a que $f(x_0) = 0$

Même idée pour $x_0 < 0$, donc la seule solution continue sur R est la fonction nulle.

gebrane · June 2018

Bonjour Tryss
Un truc m’échappe. Si j'applique ton raisonnement à I=]-1,1[ , tu me démontres que la seule fonction continue sur I vérifiant l’équation est la fonction nulle, pourtant j'ai exhibé une solution non nulle dans mon premier message dans le cas I=]-1,1[ . Pourquoi ton raisonnement ne s'applique pas pour I=]-1,1[ ? edit Ah oui peut être on a pas dans ce cas le droit de toucher f(1)

gebrane · June 2018

Merci Tryss. Belle façon de raisonner. Bien compris

Cherche fonction

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 24