Convergence d'une suite
Bonjour à tous !
Je galère sur un exercice.
Soient $ a_n $ et $b_n $ deux suites réelles positives telles que $a_n^n $ et $ b_n^n$ convergent vers $a$ et $b$.
Soient $p+q=1,\ p,q \in\, ]0;1[$.
Étudier la convergence de $\quad \big(pa_n+qb_n\big)^n.$
J'ai d'abord pensé que $a_n^n \longrightarrow a \Longrightarrow a_n \in\, ]0;1[$ à partir d'un certain rang mais c'est faux puisque $ \displaystyle \Big( 1+\frac1n \Big)^n \longrightarrow e $.
Newton ne donne rien...
Merci de votre aide !
Je galère sur un exercice.
Soient $ a_n $ et $b_n $ deux suites réelles positives telles que $a_n^n $ et $ b_n^n$ convergent vers $a$ et $b$.
Soient $p+q=1,\ p,q \in\, ]0;1[$.
Étudier la convergence de $\quad \big(pa_n+qb_n\big)^n.$
J'ai d'abord pensé que $a_n^n \longrightarrow a \Longrightarrow a_n \in\, ]0;1[$ à partir d'un certain rang mais c'est faux puisque $ \displaystyle \Big( 1+\frac1n \Big)^n \longrightarrow e $.
Newton ne donne rien...
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Réponses
Merci beaucoup !
Je ne comprends pas ton indication! Si par exemple $a_n=\frac 12$ alors $a_n^n\to 0$ et tu lui demandes de démontrer que $a_n=1+\dfrac{\ln(a)}{n}+o \left(\dfrac{1}{n}\right)$. Je rate quoi?
Si a ou b est nul, il faut procéder différemment, mais des encadrements suffisent.
Dans le cas où a est nul ou b , je sens un problème ( exemple $a_n=\frac 12 \sin^2 (n)$ n'admet pas de limite pourtant $a_n^n \to 0$)