Intégrale double sur une ellipse

Un_compact_ferme · June 2018

Bonjour,
je suis confronté à un petit problème mathématique. Comme je débute dans le domaine je n'ai pas encore les méthodes. Si vous pouviez m'expliquer les étapes à suivre ça serait parfait

Je m'excuse de pas écrire les équations visuellement... je ne vois pas de bouton pour afficher du Latex...

On souhaite intégrer la double intégrale de exp(x^2 xy + y^2) sur l'ensemble : x^2 + xy + y^2 < 1 ; y > 0.
C'est un exemple du cours, et il propose un changement de variable judicieux :
une première fonction phi (u,v) = u - 1/ \sqrt 3 v
une deuxième psi (u, v) = 2/ \sqrt 3 v

Mais je ne comprends pas pourquoi ce changement de variable précisément... Comment le trouver ?
Je ne comprends pas non plus comment calculer le déterminant... C'est un vieux livre et ils utilisent une notation que je ne connais pas. Quel doit être le déterminant par quoi on multiplie dans l'intégrale svp

?
Merci !

GaBuZoMeu · June 2018

je ne vois pas de bouton pour afficher du Latex...

Normal il n'y a pas de bouton. Il suffit de payer en dollars. Le code (j'ai corrigé une coquille et interprété tes fractions ambigües) :

On souhaite intégrer la double intégrale de $\exp(x^2+ xy + y^2)$ sur
l'ensemble : $x^2 + xy + y^2 < 1 ; y > 0$.
C'est un exemple du cours, et il propose un changement de variable judicieux :
une première fonction $\phi (u,v) = u - \frac{1}{\sqrt 3} v$
une deuxième $\psi (u, v) = \frac{2}{\sqrt 3} v$

donne
On souhaite intégrer la double intégrale de $\exp(x^2+ xy + y^2)$ sur l'ensemble : $x^2 + xy + y^2 < 1 ; y > 0$.
C'est un exemple du cours, et il propose un changement de variable judicieux :
une première fonction $\phi (u,v) = u - \frac{1}{\sqrt 3} v$
une deuxième $\psi (u, v) = \frac{2}{\sqrt 3} v$

PS. Pour le changement de variables, tu connais peut-être la décomposition en carrés de Gauss ?
$$x^2+xy+y^2=\left(x+\frac12 y\right)^2+ \frac34 y^2\;,$$
ce qui incite fortement à introduire $u=x+\frac12 y$ et $v=\frac{\sqrt3}{2} y$. Pour le déterminant jacobien et son utilisation pour le changement de variables dans les intégrales multiples, regarde un cours.

Un_compact_ferme · June 2018

ahhh je te remercie pour cette information qui me sera fort utile pour écrire sur ce forum!

Alors oui c'était l'idée mais je ne vois pas après comment faire apparaitre les fonctions $ \psi$ et $\phi $... je sais c'est surement basique il doit me manquer une étape mais c'est vraiment flou pour moi...

Pour le déterminant c'est justement après avoir regardé quelques cours que je viens vous poser la question parce que je ne trouve ma réponse nul part ! je ne comprends vraiment pas par quel scalaire il faut multiplier l'intégrale...

GaBuZoMeu · June 2018

Un_compact_ferme écrivait:

> Alors oui c'était l'idée mais je ne vois pas après comment faire apparaitre les fonctions $ \psi$ et $\phi $... je sais c'est surement basique
> il doit me manquer une étape mais c'est vraiment flou pour moi...

Sérieux ? Et si tu essayais d'exprimer $x$ et $y$ en fonction de $u$ et $v$ ?

Un_compact_ferme · June 2018

Ah ! donc en fait $\phi$ et $\psi$ ne sont que l'expression de $x$ et de $y$ en fonction de $u$ et $v$ ??? Je comprends mieux merci beaucoup !
J'ai essayé de réfléchir à la suite des choses et il y a malheureusement encore un point qui coince (et ce n'est pas écrit dans le livre puisqu'ils font un deuxième changement de variable directement).

On intégrait sur la surface elliptique et maintenant le changement de variable fait qu'on intègre sur un disque. Mais quelles sont les bornes de la double intégrale ? Intuitivement j'aurais dit quelque chose comme de $\phi $ à $\psi$, puis on intègre selon $u$ par exemple. Mais ici ça ne fonctionne pas vraiment je crois... avez-vous un conseil

???

Et si c'est trop de demander ce qu'est que ce déterminant, pourrais-je vous demander de m'expliquer la notation : $$
\frac {D ( \phi , \psi )} { D(u,v) } (u,v) = \bigg( \Big(1 , - \frac{1}{ \sqrt 3 }\Big) , \Big(0 , \frac{2}{ \sqrt 3 }\Big) \bigg)
$$ le vecteur que j'ai mis il faut le comprendre comme une matrice, je ne sais pas comment en faire une ici (et sur Latex je galère). Je vois bien que dans les cases on met les coefficients du changement de variable $x = \phi(u,v)$ et $y = \psi(u,v)$ mais je ne comprends pas pourquoi ni comment.
Merci !
bien à vous,

Intégrale double sur une ellipse

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