Majorer un reste intégral

Bonsoir,

Je considère la fonction $f: x \mapsto (1+x)\times \ln(1+x)$ sur l'intervalle $I=[-\frac{1}{2} ; \frac{1}{2}]$
en appliquant le théorème de Taylor avec reste intégral je trouve que pour tout $u\in I$:
$\displaystyle f(u) = u + \frac{u^2}{2}-\int_{0}^u\frac{(u-t)^2}{2\times (1+t)^2}\, \mathrm{d}t$

Je note $r(u)$ le reste et souhaite établir que pour tout $u \in I$: $|r(u)|\leqslant \frac{|u|^3}{3}$

En considérant le cas $0\leqslant u\leqslant \frac{1}{2} $ j'obtiens l'inégalité cherchée mais je ne parviens pas à l'établir pour $-\frac{1}{2}\leqslant u \leqslant 0$

Si quelqu'un a une suggestion à formuler, je suis preneur (et l'en remercie) ...