Produits infinis

bonjour

tes produits infinis ont été étudiés spécialement par Euler
qui a par ailleurs déterminé les célèbres relations entre les nombres premiers $p_n$
et la fonction Zéta(x) appelée ainsi plus tard par Riemann :

$\frac{1}{\zeta(x)} = (1 - \frac{1}{2^x})(1 - \frac{1}{3^x})(1 - \frac{1}{5^x}).........(1 - \frac{1}{p^x_n})......$ et aussi :

$\frac{\zeta(x)}{\zeta(2x)} = (1 + \frac{1}{2^x})(1 + \frac{1}{3^x})(1 + \frac{1}{5^x})........(1 + \frac{1}{p^x_n})........$

Fermat auparavant avait démontré la relation des binômes des fonctions puissances d'exposant les puissances successives de 2 avec - 1 < x < 1 :

$\frac{1}{1-x} = (1+x)(1+x^2)(1+2^4)...........(1+x^{2^n})........$

la fonction f paire et définie par : $f(x) = (1 - x^2)(1 - x^4)(1 - x^8).........(1 - x^{2^n}).......$
dont la convergence est très forte pour - 1 < x < 1 est représentée par une courbe en cloche

la fonction définie pour x < 1 par le produit infini très simple $(1+x)(1+x^2)(1+x^3).........(1+x^n)......$ n'a pas de nom

par contre on connaît mieux la fonction g définie par $g(x) = (1 - x)(1-x^2)(1 - x^3).........(1 - x^n).......$
sa courbe représentative est une courbe en cloche déformée et non symétrique par rapport à l'axe des ordonnées
il existe des liens fonctionnels entre $g(exp(-2\pi.x))$ et $g(exp\frac{-2\pi}{x})$
et Dédeking a montré une relation entre g et sa fonction Eta
enfin la fonction 1/g admet pour - 1 < x < 1 un développement polynomial dont le terme général $P(n).x^n$
a pour coefficient P(n) le nombre de partitions additives de l'entier n

On connaît aussi pour x > 0 (lorsque x tend vers 1 la fonction admet une valeur de continuité)
le développement en produits de binômes les fonctions puissances d'exposants fractionnaires :

$\frac{x - 1}{lnx}= \frac{1+x^\frac{1}{2}}{2}\frac{1+x^\frac{1}{4}}{2}..........\frac{1+x^\frac{1}{2^n}}{2}.........$

la série de produits de binômes de degré 1 : $(1+x)(1+\frac{x}{2}).........(1 + \frac{x}{n})...$ est divergente quel que soit x
(en effet le coefficient numérique de x dans le développement polynomial est lui-même divergent)

par contre la série alternée de produits de degré 1 est convergente, elle est connue depuis Euler, elle est liée à la fonction Gamma :
$\frac{\sqrt\pi}{\Gamma(1 - \frac{x}{2}).\Gamma(\frac{1}{2}+\frac{x}{2})} = (1 + x)(1- \frac{x}{2})(1 + \frac{x}{3})..........(1 + \frac{x}{2n-1})(1 - \frac{x}{2n}).......$

on connaît aussi : $cos\frac{\pi.x}{4} + sin\frac{\pi.x}{4} = (1 + x)(1 - \frac{x}{3})(1 + \frac{x}{5})...........$

calculée à partir de la célèbre série de produits eulériens :
$\frac{sin(\pi.x)}{\pi.x} = (1 - x^2)(1 - \frac{x^2}{2^2})............(1 - \frac{x^2}{n^2})...$

pour x = 1/2 nous retrouvons la série de produits de Wallis : $\frac{1}{2} = (1 - \frac{1}{2^2})(1 - \frac{1}{3^2})........(1 - \frac{1}{n^2})........$

il vient d'autre part le rapport convergent de deux séries de produits divergentes :

$\frac{\pi}{2} = \frac{(1+1)(1+\frac{1}{3})......(1+\frac{1}{2p-1})....}{(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{4})........(1+\frac{1}{2n})......}$

toujours à partir des produits eulériens voici d'autre séries de produits de binômes de degré 2 liés aux fonctions circulaires ou hyperboliques :

$cos\frac{\pi.x}{2} = (1 - x^2)(1 - \frac{x^2}{3^2})........(1 - \frac{x^2}{(2n-1)^2}).......$

$\frac{sh(\pi.x)}{\pi.x} = (1 + x^2)(1 + \frac{x^2}{2^2})...........(1 + \frac{x^2}{n^2}).......$

$ch\frac{\pi.x}{2} = (1 + x^2)(1 + \frac{x^2}{3^2})............(1 + \frac{x^2}{(2n-1)^2})..........$

au degré 3 les séries de produits de binômes sont liées à la fonction Gamma avec j et j² racines cubiques complexes de 1 :

$\frac{1}{\Gamma(1 + x).\Gamma(1+ j.x).\Gamma(1+ j^2.x)} = (1 + x^3)(1 + \frac{x^3}{2^3}).........(1 + \frac{x^3}{n^3})........$

pour x = 1 et pour x = - 1 on trouve des produits numériques du type Wallis :

$\frac{1}{2\pi}ch\frac{\pi.\sqrt3}{2} = (1+ \frac{1}{2^3})(1 + \frac{1}{3^3})...........(1 + \frac{1}{n^3})........$

$\frac{1}{3\pi}ch\frac{\pi.\sqrt3}{2} = (1 - \frac{1}{2^3})(1 - \frac{1}{3^3})..........(1 - \frac{1}{n^3}).....$

sinon la série de produits de binômes alternés de signe et de degré 3 avec les nombres impairs
s'exprime directement avec les fonctions circulaires et hyperboliques :

$\sqrt{2}.sin\frac{\pi}{4}(1-x)[ch\frac{\pi.x\sqrt3}{4} + sin\frac{\pi.x}{4}] = (1 - x^3)(1 + \frac{x^3}{3^3})(1 - \frac{x^3}{5^3})........$

au delà du degré 3 les séries de produits de binômes de degré pair s'expriment directement avec les fonctions circulaires et hyperboliques

de degré impair elles s'expriment avec la fonction Gamma de variable imaginaire pure
mais si le signe des binômes est aussi alterné ces séries de binômes de degré impair
s'expriment directement avec les fonctions circulaires et hyperboliques

cordialement

Il s'agit d'une utilisation triviale de l'équation fonctionnelle $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$, valable pour tout nombre complexe qui n'est pas un entier négatif.

$\lvert \Gamma(i) \rvert = \sqrt{\dfrac{\pi}{\sinh \pi}}$

Qui cherche trouve !:-D
Tu voulais une forme close la voila.( attention c'est seulement pour le module de $\Gamma(i)$, chercher exactement $\Gamma(i)$ c'est une perte de temps)

Indication : utiliser la formule des compléments $\Gamma(z) \Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)}$ valable pour tout complexe non entier.

Dernier ingrédient : $-i = \overline{i}$ :-D

Le plus simple est de dire que $\Gamma$ et $z \mapsto \overline{\Gamma(\overline{z})}$ sont deux fonctions holomorphes coïncidant sur l'ouvert $\{s \in \mathbb C \mid \mathfrak{Re}(z) > 0\}$.

bonjour

pour déterminer $\Gamma(1 + i)$ et $\Gamma(1 - i)$

il suffit (avec x > - 1 et $\gamma$ la constante d'Euler)

d'utiliser le développement polynomial de $ln\Gamma(1+x)$

dont les coefficients des monômes sont les valeurs successives pondérées

des images des entiers naturels par la fonction Zéta de Riemann soit :

$ln\Gamma(1+x) = - \gamma.x + \frac{x^2}{2}\zeta(2) - \frac{x^3}{3}\zeta(3) + \frac{x^4}{4}\zeta(4) - .........+(-1)^n\frac{x^n}{n}\zeta(n) +...$

pour x = i on obtient le développement d'un complexe dont la partie réelle et la partie imaginaire sont calculables
(la convergence alternée est plutôt lente)
il suffit de passer aux exponentielles pour obtenir $\Gamma(1+i)$ et $\Gamma(1-i)$ soit :

$\Gamma(1+i) = 0,498060..... + i(0,154738....)$ et $\Gamma(1-i) = 0,498060......- i(0,154738.....)$

nombres complexes conjugués de module commun égal (comme on l'a dit plus haut) à $\sqrt{\frac{\pi}{sh\pi}}$

puisque d'après la formule des compléments $\Gamma(1+i)\Gamma(1-i) = \frac{\pi}{sh\pi}$

cordialement