@FDP mais on a $(1-4x)^{-1/2} \;=\; \sum \binom{2n}{n}\ x^n$ je vois que ça marche ( j'ai la flemme en ce moment pour faire les calculs) étudiant paresseux:-D, On part du terme général de ta série puis Hop
On peut utiliser ce développement mais il y en a un autre qui est plus connu d'un étudiant de licence (en principe).
Après les calculs à faire coulent de source.
@FDP
Est ce que ta méthode est différente de celle ci
$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \binom{2n}{n}\frac{1}{4^n(2n+1)^3}=\frac 12 \sum_{n=0}^{\infty} \binom{2n}{n}\int_0^1 \ln^2(x)(\frac{x^2}4)^n \, dx=\frac 12 \int_0^1 \ln^2(x)(\sum_{n=0}^{\infty} \binom{2n}{n} (\frac{x^2}4)^n)\, dx=\frac 12 \int_0^1 \frac{\ln^2(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx=\frac 12\int_0^{\frac{\pi}2} \ln^2(\sin(t))\, dt$
Initialement je cherchais un moyen d'exprimer un coefficient binomial sous forme d'intégrale.
J'avais une idée pour exprimer l'inverse d'un coefficient binomiale mais c'est tout.
En cherchant un peu sur Internet j'ai été conduit à utiliser une intégrale de Wallis et en faisant les calculs je me suis rendu compte qu'on se retrouvait avec le développement en série de $\displaystyle \arcsin(x)$ qui fait apparaitre le coefficient $\displaystyle \frac{\binom{2n}{n}}{4^n(2n+1)}$ (cf. https://fr.wikipedia.org/wiki/Formulaire_de_développement_en_série_entière )
Peut-être que ton calcul est plus simple.
Car je dois considérer la primitive $F$ qui s'annule en $0$ de $\frac{\arcsin x}{x}$ et on doit encore considérer la primitive de $\frac{F(x)}{x}$ qui s'annule en $0$.
Une intégration par parties conduit, si je me souviens bien, à devoir calculer l'intégrale $\displaystyle \int_0^1 \frac{\ln x\arcsin x}{x}dx$
Pourquoi ne pas leur proposer une méthode générale pour calculer $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \binom{2n}{n}\frac{1}{4^n(2n+1)^{p+1}}$ . On se ramène ( même méthode) à calculer $$\int_0^{\frac{\pi}2} \ln^p(\sin(t))\, dt$$
je sais des méthodes pour le calculer pour p=1,2 et 3 mais pour p quelconque, la question se pose
Réponses
Après les calculs à faire coulent de source.
Est ce que ta méthode est différente de celle ci
$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \binom{2n}{n}\frac{1}{4^n(2n+1)^3}=\frac 12 \sum_{n=0}^{\infty} \binom{2n}{n}\int_0^1 \ln^2(x)(\frac{x^2}4)^n \, dx=\frac 12 \int_0^1 \ln^2(x)(\sum_{n=0}^{\infty} \binom{2n}{n} (\frac{x^2}4)^n)\, dx=\frac 12 \int_0^1 \frac{\ln^2(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx=\frac 12\int_0^{\frac{\pi}2} \ln^2(\sin(t))\, dt$
Initialement je cherchais un moyen d'exprimer un coefficient binomial sous forme d'intégrale.
J'avais une idée pour exprimer l'inverse d'un coefficient binomiale mais c'est tout.
En cherchant un peu sur Internet j'ai été conduit à utiliser une intégrale de Wallis et en faisant les calculs je me suis rendu compte qu'on se retrouvait avec le développement en série de $\displaystyle \arcsin(x)$ qui fait apparaitre le coefficient $\displaystyle \frac{\binom{2n}{n}}{4^n(2n+1)}$ (cf. https://fr.wikipedia.org/wiki/Formulaire_de_développement_en_série_entière )
Peut-être que ton calcul est plus simple.
Car je dois considérer la primitive $F$ qui s'annule en $0$ de $\frac{\arcsin x}{x}$ et on doit encore considérer la primitive de $\frac{F(x)}{x}$ qui s'annule en $0$.
Une intégration par parties conduit, si je me souviens bien, à devoir calculer l'intégrale $\displaystyle \int_0^1 \frac{\ln x\arcsin x}{x}dx$
Pourquoi ne pas leur proposer une méthode générale pour calculer $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \binom{2n}{n}\frac{1}{4^n(2n+1)^{p+1}}$ . On se ramène ( même méthode) à calculer $$\int_0^{\frac{\pi}2} \ln^p(\sin(t))\, dt$$
je sais des méthodes pour le calculer pour p=1,2 et 3 mais pour p quelconque, la question se pose
$\begin{align}J_p&=\int_0^{\frac{\pi}2} \ln^p(\sin(t))\, dt\\
&=\int_0^1 \frac{\ln^p x}{\sqrt{1-x^2}}\\
\end{align}$
On fait le changement de variable $y=x^2$,
$\begin{align}J_p&=\frac{1}{2^{p+1}}\int_0^1 x^{-\frac{1}{2}}(1-x)^{-\frac{1}{2}}\ln^p x\,dx
\end{align}$
Si on considère la fonction,
$\begin{align} F_p(s)&=\frac{1}{2^{p+1}}\int_0^1 x^{s-\frac{1}{2}}(1-x)^{-\frac{1}{2}}\,dx\\
&=\frac{1}{2^{p+1}}\text{B}\left(s+\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\\
&=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma\left(s+\frac{1}{2}\right)}{2^{p+1}\Gamma(s+1)}
\end{align}$
Avec $\text{B}$ la fonction Bêta d'Euler.
$J_p$ est la dérivée $p$-ème de la fonction $F_p$ évaluée en $0$.
PS:
Cela semble correct pour $p=2$.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=d^2/ds^2+sqrt(Pi)/2^3*+Gamma(s+1/2)/Gamma(s+1),s=0
(il faut réessayer plusieurs fois pour que Wolfy donne une forme simplifiée)
Peux-tu démontrer la formule dans l'image ci dessous ( c'est pour p=3)