Divertissement de fin de semaine

gebrane · June 2018

@FDP mais on a $(1-4x)^{-1/2} \;=\; \sum \binom{2n}{n}\ x^n$ je vois que ça marche ( j'ai la flemme en ce moment pour faire les calculs) étudiant paresseux:-D, On part du terme général de ta série puis Hop

Fin de partie · June 2018

On peut utiliser ce développement mais il y en a un autre qui est plus connu d'un étudiant de licence (en principe).
Après les calculs à faire coulent de source.

gebrane · June 2018

@FDP
Est ce que ta méthode est différente de celle ci
$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \binom{2n}{n}\frac{1}{4^n(2n+1)^3}=\frac 12 \sum_{n=0}^{\infty} \binom{2n}{n}\int_0^1 \ln^2(x)(\frac{x^2}4)^n \, dx=\frac 12 \int_0^1 \ln^2(x)(\sum_{n=0}^{\infty} \binom{2n}{n} (\frac{x^2}4)^n)\, dx=\frac 12 \int_0^1 \frac{\ln^2(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx=\frac 12\int_0^{\frac{\pi}2} \ln^2(\sin(t))\, dt$

Fin de partie · June 2018

Gebrane:

Initialement je cherchais un moyen d'exprimer un coefficient binomial sous forme d'intégrale.
J'avais une idée pour exprimer l'inverse d'un coefficient binomiale mais c'est tout.

En cherchant un peu sur Internet j'ai été conduit à utiliser une intégrale de Wallis et en faisant les calculs je me suis rendu compte qu'on se retrouvait avec le développement en série de $\displaystyle \arcsin(x)$ qui fait apparaitre le coefficient $\displaystyle \frac{\binom{2n}{n}}{4^n(2n+1)}$ (cf. https://fr.wikipedia.org/wiki/Formulaire_de_développement_en_série_entière )

Peut-être que ton calcul est plus simple.

Car je dois considérer la primitive $F$ qui s'annule en $0$ de $\frac{\arcsin x}{x}$ et on doit encore considérer la primitive de $\frac{F(x)}{x}$ qui s'annule en $0$.
Une intégration par parties conduit, si je me souviens bien, à devoir calculer l'intégrale $\displaystyle \int_0^1 \frac{\ln x\arcsin x}{x}dx$

gebrane · June 2018

@FDP

Pourquoi ne pas leur proposer une méthode générale pour calculer $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \binom{2n}{n}\frac{1}{4^n(2n+1)^{p+1}}$ . On se ramène ( même méthode) à calculer $$\int_0^{\frac{\pi}2} \ln^p(\sin(t))\, dt$$
je sais des méthodes pour le calculer pour p=1,2 et 3 mais pour p quelconque, la question se pose

Fin de partie · June 2018

On fait le changement de variable $y=\sin x$,

$\begin{align}J_p&=\int_0^{\frac{\pi}2} \ln^p(\sin(t))\, dt\\
&=\int_0^1 \frac{\ln^p x}{\sqrt{1-x^2}}\\
\end{align}$

On fait le changement de variable $y=x^2$,

$\begin{align}J_p&=\frac{1}{2^{p+1}}\int_0^1 x^{-\frac{1}{2}}(1-x)^{-\frac{1}{2}}\ln^p x\,dx
\end{align}$

Si on considère la fonction,

$\begin{align} F_p(s)&=\frac{1}{2^{p+1}}\int_0^1 x^{s-\frac{1}{2}}(1-x)^{-\frac{1}{2}}\,dx\\
&=\frac{1}{2^{p+1}}\text{B}\left(s+\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\\
&=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma\left(s+\frac{1}{2}\right)}{2^{p+1}\Gamma(s+1)}
\end{align}$

Avec $\text{B}$ la fonction Bêta d'Euler.

$J_p$ est la dérivée $p$-ème de la fonction $F_p$ évaluée en $0$.

PS:
Cela semble correct pour $p=2$.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=d^2/ds^2+sqrt(Pi)/2^3*+Gamma(s+1/2)/Gamma(s+1),s=0

(il faut réessayer plusieurs fois pour que Wolfy donne une forme simplifiée)

gebrane · June 2018

Merci FDP
Peux-tu démontrer la formule dans l'image ci dessous ( c'est pour p=3) 77420

Fin de partie · June 2018

Le calcul fait plus haut permet de donner cette valeur. Il faut se fader des calculs avec la fonction digamma et ses dérivées.

gebrane · June 2018

Oui FDP la méthode est là! mais tout le plaisir est de retrouver cette valeur, c'est notre passion, non?

Divertissement de fin de semaine

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