J'ai lu dans mon cours qu'un singleton était toujours fermé.
J'ai aussi vu qu'une Union et une intersection de fermés était un fermé.
Et dans un exercice j'ai un ensemble {(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)} et sur la correction cet ensemble est dit ouvert. Quelqu'un peut m'expliquer ?
Réponses
-- Schnoebelen, Philippe
2°) Quant à savoir pourquoi l'ensemble que tu as écrit est ouvert, comme l'a écrit Nicolas Patrois, ça dépend de l'espace topologique dans lequel on est. Or, tu ne nous as rien dit de cet espace topologique.
Comment ça un fermé peut être ouvert ?
Et oui, un fermé peut être ouvert. Par exemple dans l'espace topologique $E$, $E$ est à la fois fermé et ouvert.
-- Schnoebelen, Philippe
Représenter graphiquement les parties suivante de R2 et dire pour chacune d'elles si c'est un ouvert, un fermé ou ni l'un ni l'autre.
A={(x,y)€R2, |x|différents de 1 ou |y| différents de 1}
Quand je dessine je trouve tout R2 sauf les pts {(1,1),(-1,1),(1,-1),(-1,-1)}
Pour moi les pts sont un fermé donc la boule est ouverte et la correction me dit que la boule est fermé.
Pour ton dessin de $A$, ne confondrais-tu pas "ou" et "et" ?
Quelle boule ? Tu t'exprimes de manière trop confuse.
Fermé et ouvert en même temps te semble impossible ? Pourtant je t'ai donné un exemple qui est à la fois ouvert et fermé : dans $\mathbb R^2$ avec la topologie usuelle, $\mathbb R^2$ est à la fois ouvert et fermé.
Il est vrai que dans $\mathbb R^2$ avec la topologie usuelle, les seules parties qui sont à la fois ouvertes et fermées sont $\mathbb R^2$ et $\emptyset$ ; ça tient à une propriété qu'on appelle la connexité. Mais il faut que tu chasses de ta tête ce "théorème" que tu as inventé : "une partie ouverte ne peut pas être fermée"; c'est faux.
Oui je dois sûrement mélanger les 2. Quand je dois dessiner la boule A comment la dessiner si c'est un "et" et comment la dessiner si c'est un "ou" ?
2°) Dans le plan $\mathbb R^2$; peux tu dessiner
- l'ensemble des points $(x,y)$ tels que $x=1$ et $y=1$ ?
- l'ensembles des points $(x,y)$ tels que $x=1$ ou $y=1$ ?
2°) - pour "et" je pense qu'il faut colorier tout R2 sauf les pts (1,1),(-1,-1),(-1,1) et (1,-1)
- pour le "ou" je sais pas trop comment le modélisé mais je pense qu'il faut faire plusieurs dessins:
- le premier avec tout de colorier sauf les droite
d'équationss x=1 et x=-1
- le deuxième avec tout de colorier sauf les droites
d'équations y=1 et y=-1
C'est bien ça ?
PS. Je fais moi-même preuve de peu de concentration. L'ensemble des $(x,y)$ de $\mathbb R^2$ tels que $|x|\neq 1$ ou $|y|\neq 1$ est bien $\mathbb R^2$ privé de $\{(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1)\}$. Au temps pour moi.
Alors pour le premier je dirai que c'est le pts (1,1) (et)
Et pour le deuxième c'est les doute x=1 et y=1 (ou)