Remarque sur les décimales de $\varphi$
Bonjour,
On pose $A=\{\lfloor n \varphi \rfloor ; \, n\in N^*\}$ et $B=\{\lfloor n \varphi \rfloor +n ; \, n\in N^*\}$, avec $\varphi =\dfrac {1+ \sqrt5}{2}=1,618033988749 \dots \dots$.
Montrer que :
si $10^n \in B$ alors la $n+1$-ième décimale de $\varphi $ est $\,0;\, 1;\,2 \,$ ou $3$; et
si $10^n \in A$ alors la $n+1$-ième décimale de $\varphi $ est $\geq 3$.
Par exemple prenons $n=3$, on trouve $1000\in B$ (puisque $1000=\lfloor 382 \varphi \rfloor +382$) et la quatrième décimale de $\varphi $ est $\boxed 0$
On pose $A=\{\lfloor n \varphi \rfloor ; \, n\in N^*\}$ et $B=\{\lfloor n \varphi \rfloor +n ; \, n\in N^*\}$, avec $\varphi =\dfrac {1+ \sqrt5}{2}=1,618033988749 \dots \dots$.
Montrer que :
si $10^n \in B$ alors la $n+1$-ième décimale de $\varphi $ est $\,0;\, 1;\,2 \,$ ou $3$; et
si $10^n \in A$ alors la $n+1$-ième décimale de $\varphi $ est $\geq 3$.
Par exemple prenons $n=3$, on trouve $1000\in B$ (puisque $1000=\lfloor 382 \varphi \rfloor +382$) et la quatrième décimale de $\varphi $ est $\boxed 0$
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Réponses
1) il n'y a pas d'erreurs dans mes calculs et
2) dans les décimales de $\varphi$ il y a "autant" de $0,1,2,3,4$ que de $5,6,7,8,9$
alors les $10^n$ ne sont pas équitablement répartis entre la Lower Wythoff sequence :http://oeis.org/A000201 et la Upper Wythoff sequence : http://oeis.org/A001950
1) On avait $A=\{\lfloor n \varphi \rfloor ; \, n\in N^*\}$, donc
$k\in A\Longleftrightarrow \exists m \in N^*; \,k<m\varphi<k+1 \Longleftrightarrow\exists m \in N^* ;\,\dfrac{k}{\varphi}<m<\dfrac {k}{\varphi}+\dfrac1{\varphi} $
Le $\leq$ est inutile, $\varphi$ n'étant pas une fraction.
$k\in A\Longleftrightarrow \exists m \in N^*; \,m-\dfrac1{\varphi} <\dfrac k{\varphi} <m$
on remarque que $\lfloor \dfrac k {\varphi }\rfloor =m-1$ et que la partie fractionnaire de $\dfrac k {\varphi }$ vérifie : $\Big \{\dfrac k {\varphi } \Big \}>1-\dfrac 1 {\varphi }\approx 0,3819$
2) On trouverait $k\in B \Longleftrightarrow \Big \{\dfrac k {\varphi } \Big \}<1-\dfrac 1 {\varphi }$
3) Si $k=10^n$, on a :
$10^n\in A \Longleftrightarrow \Big \{\dfrac {10^n} {\varphi } \Big \}>1-\dfrac 1 {\varphi }$, mais $\varphi ^2=\varphi +1$ donc $\dfrac 1 {\varphi }=\varphi -1$ et
$10^n\in A \Longleftrightarrow \Big \{10^n(\varphi -1) \Big \}>1-\dfrac 1 {\varphi }$, ou encore
$10^n\in A \Longleftrightarrow \Big \{10^n \varphi \Big \}>1-\dfrac 1 {\varphi }$,
Si la partie fractionnaire de $10^n \varphi$ est plus grande que $0,3819$, alors le chiffre des unités de $10^{n+1} \varphi$ est $3$ ou plus.
Edit: un $n$ enlevé, merci gebrane
Les zéros suivants arrivent aux rangs $22;28;29$.
Quelqu'un pourrait-il vérifier si on a :
$4^{21} \in B$?
$4^{27} \in B$?
$4^{28} \in B$?
Un grand merci.
.Normalement $k\in A\Longleftrightarrow \exists m \in N^*; \,k\leq m\varphi<k+1 $
.Je ne comprends pas cette ligne $\lfloor n \dfrac k {\varphi }\rfloor =m-1$ , c'est vraie pour tout n?
Le $n$ est à enlever. Lire $\lfloor \dfrac k {\varphi }\rfloor =m-1$
Merci.
Ce qui donne : $\quad \, \Big \{\dfrac k {\varphi } \Big \}= \dfrac k {\varphi }-m+1>-\dfrac1{\varphi}+1$
$\Longrightarrow$
$\exists m \in N^*; \, \Big \{\dfrac k {\varphi } \Big \}= \dfrac k {\varphi }-m+1$ mais la reciproque n'est pas vraie car $\exists m \in N^*; \, \Big \{\dfrac k {\varphi } \Big \}= \dfrac k {\varphi }-m+1 \Longleftrightarrow \exists m \in N^*; \,
\lfloor \dfrac k {\varphi }\rfloor =m-1$ mais ceci n'implique pas $\exists m \in N^*; \,m-\dfrac1{\varphi} <\dfrac k{\varphi} <m$
Supposons maintenant $\Big \{\dfrac k {\varphi } \Big \}>1-\dfrac 1 {\varphi }$ et posons $\lfloor \dfrac k {\varphi }\rfloor =m-1$.
Alors $\quad m-1<\dfrac k {\varphi }<m$ donc en particulier $\quad \boxed {k<m \varphi }$.
De $\dfrac k {\varphi }=\lfloor \dfrac k {\varphi }\rfloor +\Big \{\dfrac k {\varphi } \Big \}$ on déduit :$\dfrac k {\varphi }>m-\dfrac 1 {\varphi }$
Soit encore $ \boxed {m\varphi <k+1}$, et on peut conclure $\lfloor m \varphi \rfloor=k$, d'où $k \in A$
" pour déterminer la quatrième décimale de $\varphi$ on calcule : $\lfloor 10^4 \varphi \rfloor- 10\lfloor 10^3 \varphi \rfloor$ et on trouve $0$ "
Je réponds :
"oui, certes, mais sans aller si loin je savais qu'elle était petite (entre $0$ et $3$)".
Avec ta méthode comment procedes-tu?
S'il est dans $B$, la $101$-ième décimale est petite (entre 0 et 3).
Je ne vais pas jusqu'à $10^{101} \varphi$
Amicalement
PS En trichant cette décimale vaut $8$, donc $10^{100}$ est dans $A$ :-)
( ne prend pas ma question dans un sens négatif, peut être tu nous cache d'autres applications)
Cordialement
On peut généraliser à d'autres bases que $10$, ou à d'autres nombres que $\varphi$, ils doivent vérifier
$\{x\}=\{x^{-1}\}$ ( une égalité entre parties fractionnaires).