Question sur une intuition

jp59
jp59
dans Analyse
Bonjour,

Utilisant souvent le théorème de d'Alembert-Gauss lorsqu'on on est en bac+2 on peut se demander d'où il vient..
Je suis donc allé sur Wikipédia chercher sa preuve.
Mais je ne comprends pas pourquoi ce théorème est si compliqué.
En effet la factorisation d'un polynôme du second degré paraît plutôt évidente, sur ce modèle ne peut-on pas généraliser pour un polynôme de degré n quelconque ?
En degré 3 on trouve une racine évidente, le coefficient dominant du polynôme donne le coefficient dominant du polynôme de degré 2 par lequel X-racine évidente est multiplié et on identifie...
Ainsi on a envie de dire on arrive vite à ... dans C[X] tout polynôme non constant est scindé.
Je sais bien que ce que je dis est faux vu la technicité des méthodes employées (comme dans le sujet PC des Mines 2018)
Où se trouve le "couac" dans la généralisation ? Quelle est la raison qui le rend compliqué ?

Merci

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Comment trouves-tu la "racine évidente" dans $X^3 + \pi X^2 -(i+\rm{e})X + 58720366666$ ?
  • jp59
    jp59
    Oui c'est vrai en écrivant le message je l'ai pensé...est-ce pour cela qu'il est si compliqué qu'un polynôme de degré 3 se factorise en polynôme irréductibles dans C crochet X?
    Car on ne peut pas trouver les racines d'un polynôme de degré strictement supérieur à 2? (Immédiatement bien sûr)
  • Poirot
    Poirot
    Oui, dès le degré $3$ il n'est pas naturellement évident que l'on puisse factoriser dans $\mathbb C$ en sachant simplement que l'on peut factoriser les polynômes de degré $2$ !

    Au passage, c'est "normal" de ne pas s'en sortir de cette manière (purement algébrique), car en un certain sens, toute démonstration du théorème de d'Alembert-Gauss utilise un peu d'analyse (classiquement, le fait que tout polynôme réel de degré impair admet une racine réelle, ou alors des propriétés de compacité et continuité).
  • jp59
    jp59
    D'accord, merci

    et si l'on admet que tout polynôme de degré n dans C admet au moins une racine complexe, comment en déduire que tout polynôme est scindé dans C?
  • Cyrano
    Cyrano
    Par récurrence sur $n$.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Jp59 a écrit:
    En effet la factorisation d'un polynôme du second degré paraît plutôt évidente, sur ce modèle ne peut-on pas généraliser pour un polynôme de degré n quelconque ?

    Pour les équations polynomiales de degré 5 ou plus il n'existe pas en général de formules comparables à celles pour les équations polynomiales de degré 2 qui expriment les racines en fonction des coefficients du polynôme.
  • gebrane
    gebrane
    La démonstration du théorème de D'Alembert-Gauss la plus simple ( elle demande la formule de Taylor et un résultat sur le minimum ) que je connais http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?2,139929,139989#msg-139989
    Le 😄 Farceur


  • jp59
    jp59
    Merci beaucoup je vais regarder tout ça
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 22

HéhéhéSnegabcdbisamfm_31nicolas.patroisvlad69 +15 Invités