Théorème de Borel-Cantelli
Bonjour,
J'ai une question au sujet de la démonstration du théorème de Borel-Cantelli, qui est le suivant :
Soit un espace mesuré $(X, \mathcal{A}, \mu)$, et $(A_n)_{n \ge 0}$ une suite dans $ \mathcal{A} $.
Si $\sum_{n \ge 0} \mu (A_n) < + \infty $ alors $ \mu (\limsup A_n) = 0 $
Premièrement, j'ai bien compris la démonstration du fait que $ \mu (\limsup A_n) \le \sum_{k=n_0}^{\infty} \mu (A_k) $.
Maintenant, il reste à en déduire que $ \mu (\limsup A_n) = 0 $, et c'est là que j'ai un blocage.
Déjà on a prouvé que $ 0 \le \mu (\limsup A_n) \le \sum_{k=n_0}^{\infty} \mu (A_k) $
Mais pourquoi si $\sum_{n \ge 0} \mu (A_n) < + \infty $, alors $ \sum_{k=n_0}^{\infty} \mu (A_k) $ tend vers 0 ?
Je sais que si une série converge, alors son terme général tend vers 0. Est-ce que ça a un lien ? Si oui, je ne le vois pas.
Merci à vous.
J'ai une question au sujet de la démonstration du théorème de Borel-Cantelli, qui est le suivant :
Soit un espace mesuré $(X, \mathcal{A}, \mu)$, et $(A_n)_{n \ge 0}$ une suite dans $ \mathcal{A} $.
Si $\sum_{n \ge 0} \mu (A_n) < + \infty $ alors $ \mu (\limsup A_n) = 0 $
Premièrement, j'ai bien compris la démonstration du fait que $ \mu (\limsup A_n) \le \sum_{k=n_0}^{\infty} \mu (A_k) $.
Maintenant, il reste à en déduire que $ \mu (\limsup A_n) = 0 $, et c'est là que j'ai un blocage.
Déjà on a prouvé que $ 0 \le \mu (\limsup A_n) \le \sum_{k=n_0}^{\infty} \mu (A_k) $
Mais pourquoi si $\sum_{n \ge 0} \mu (A_n) < + \infty $, alors $ \sum_{k=n_0}^{\infty} \mu (A_k) $ tend vers 0 ?
Je sais que si une série converge, alors son terme général tend vers 0. Est-ce que ça a un lien ? Si oui, je ne le vois pas.
Merci à vous.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Donc, en particulier, $\forall n, \lim \sup A_i \subset \bigcup_{k\geq n} A_k$
Donc $\forall n, \mu( \lim \sup A_i ) \leq \mu \left( \bigcup_{k\geq n} A_k \right)$
Mais
$ \mu \left( \bigcup_{k\geq n} A_k \right) \leq \sum_{k\geq n} \mu(A_k) $
Or comme $ \sum \mu(A_k) $ converge et que le reste d'une série convergente tend vers 0, on a
$\lim_{n\to + \infty} \sum_{k\geq n} \mu(A_k) = 0$
Donc $\mu( \lim \sup A_i )$ (un réel positif) est majoré par une suite qui tend vers 0, donc égal à $0$
Merci.
Ecrire $\sum_{n \ge 0} \mu (A_n) =\int_{\Omega} (\sum_{n \ge 0} 1_{ A_n } )d\mu$ et conclure
Je n'étais pas clair peut être ?
Si $\int_{\Omega} (\sum_{n \ge 0} 1_{ A_n } )d\mu<+\infty$ alors pour $\mu$-presque tout $ \omega$ , on a $\sum_{n \ge 0} 1_{ A_n } (\omega))<+\infty$ c'est-à-dire $\{n , \omega \in A_n \} $ est fini CQFD