Galerkin

mati · June 2018

Bonjour à tous,
si on a le problème non linéaire $$
\dfrac{\partial u}{\partial t}-\Delta u + \omega F(u)= f(x,t),\quad x \in \R^n,\ t>0, \ u(x,0)=0,
$$ où $\omega >0$, $F$ fonction non linéaire et $f \in L^2$.
Comment on montre par la méthode de Galerkin que ce problème non linéaire admet une unique solution ?
Merci par avance.

O.G. · June 2018

Bonjour

En général Galerkin permet de montrer l'existence. L'unicité vient "après".
Des hypothèses sur $F$ ?

O.G.

mati · June 2018

Les hypothèses sur F sont: F est lipschitzienne et croissante.

gebrane · June 2018

Voir https://math.stackexchange.com/questions/2355755/u-is-a-c2-solution-of-u-t-delta-u-fu-and-u-0-on-partial-omega et https://math.stackexchange.com/questions/2380914/consider-u-t-delta-u-fu-and-u-0-on-partial-omega-times-0-infty?utm_medium=organic&utm_source=google_rich_qa&utm_campaign=google_rich_qa

mati · June 2018

@gebrane: le problème donné dans stackechange est linéaire, contrairement à mon problème qui est non linéaire.

gebrane · June 2018

f est supposée Lip, elle prend le rôle de ton F

mati · June 2018

Oui gebrane. Mais il me semble qu'il montre l'unicité par un principe du maximum. Pour montrer l'existence par Fadeo Galerkin il faut une suite approchée. Par quoi on commence?

gebrane · June 2018

Soit le problème $\dfrac{\partial u}{\partial t}-\Delta u + F(u)= f(x,t)$. Pour commencer , tu supposes deux solutions u et v et tu pose $w=u-v$ alors $w$ vérifie l’équation $$\dfrac{\partial w}{\partial t}-\Delta w =F(v)-F(u)$$ et tu lis attentivement les liens

mati · June 2018

gebrane ça c'est l'unicité. Il ne faut pas commencer par l'existence avant de voir l'unicité?

gebrane · June 2018

Mon message est dans la suite de http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1665806,1665810#msg-1665810
Il me semblait que ton problème était l'unicité et que tu savais prouver l'existence par Galerkin

mati · June 2018

Non gebrane ma question concerne l'application de la méthode de Fadeo Galerkin sur mon problème pour montrer l'existence. Par quoi on commence?

gebrane · June 2018

Formulation variationnelle + solutions approchées +...+ passage à la limite
Par quoi on commence? tu commences par relire un cours sur cette méthode

mati · June 2018

gebrane je ne trouve pas de cours bien écrit sur Fadeo Galerkin qui traite un problème non linéaire général, as-tu un tel cours? Merci de poster un lien pour comprendre es étapes de cette méthode.

gebrane · June 2018

Pas utile

mati · June 2018

Merci bien gebrane. Je remarque qu'on applique Fadeo Galerkin dans le cas d'un ouvert borné de $\R^n$ et des conditions aux limites. Mon problème est posé dans $\R^n$ et je n'ai pas de conditions aux limites. Il est possible d'appliquer Galerkin dans $\R^n$?

gebrane · June 2018

Je n'avais pas fait attention, Galerkin ou éléments finis demandent un domaine borné. Pourquoi tu te poses cette question ?

Héhéhé · June 2018

Non on peut très bien faire une méthode de Galerkin voire une méthode éléments finis sur des domaines non bornés.

gebrane · June 2018

@Héhéhé Je n'ai jamais vu ça , donne un lien

mati · June 2018

héhéhé peux tu nous envoyer un lien?

O.G. · June 2018

Pour Galerkin le principal est de projeter sur un sous espace de dimension finie, (une famille vérifiant des propriétés de densité, etc...). Ici résoudre un système différentiel non linéaire, montrer des estimations a priori et passer à la limite.
Le fait d'avoir un domaine non borné peut donner quelques difficultés supplémentaires (comportement à l'infini de la solution).

Une autre façon de résoudre cette EDP est de faire un point fixe.

Pour les éléments finis je ne sais pas mais une recherche sur internet donne des références.

Héhéhé · June 2018

Alors déjà la méthode de Galerkin est une méthode générale d'approximation dans un espace de Hilbert, donc rien à voir avec le fait que le domaine est borné ou pas. Je rappelle ce que c'est:

Soit $V$ est un espace de Hilbert (de dimension infinie pour que ce soit intéressant). On considère le problème variationnel: trouver $u \in V$ tel que $a(u,v) = \ell(v)$ pour tout $v \in V$, où $a$ est une forme bilinéaire continue et $\ell$ une forme linéaire continue. On suppose qu'il est bien posé (par exemple c'est le cas si $a$ est coercive). La méthode de Galerkin consiste alors à se donner une suite de sous-espaces $V_h$ de $V$ de dimension finie indexés par $h>0$, on résout alors les problèmes variationnels approchés: trouver $u_h \in V_h$ tel que $a(u_h,v_h) = \ell(v_h)$ pour tout $v_h \in V_h$ (ce qui se ramène à la résolution d'un système linéaire). On espère alors que $u_h \to h$ quand $h \to 0$, ce qui est le cas quand on a bien choisi les $V_h$. Voir par exemple le bouquin de Grégoire Allaire où c'est bien raconté il me semble.

Maintenant, la méthode des éléments finis c'est juste se donner des $V_h$ qui sont des sous-espaces d'espace de Sobolev pour résoudre des EDPs et on résout bien des problèmes en domaine non bornés, donc avec des espaces de Sobolev sur des domaines non bornés. Si vous voulez des exemples il suffit de chercher "unbounded finite elements" sur Google, mais j'ai mis un exemple en pièce jointe: "infinite elements" de Peter Bettess (ça date de 1977 donc c'est pas nouveau nouveau...).

mati · June 2018

héhéhé ce qui m'interesse c'est Galerkin , est-ce que tu as un lien ou une référence ? Car dans le cas non borné il y a des dfficultés pour les estimations a priori

gebrane · June 2018

Mati
Puisque F est croissant, une méthode bien adapté à ton problème est l'utilisation des semi-groupes pour résoudre un problème de type $u_t+Au=f$. Dans ton cas $Au=-\Delta u +wF(u)$ . Ton problème est un déjà vu où on montre que A est un opérateur maximal monotone ( en ce moment, je ne me rappelle plus de la référence )

O.G. · June 2018

Pour les estimations a priori, d'où viennent les difficultés supplémentaires ?
Vu qu'on utilise la formulation variationnelle, $u_h$ comme fonction test...

Pour les semi-groupes, il y a toujours la référence classique, H. Brezis, "Opérateurs Maximaux Monotones, et semi-groupes de contraction dans les espaces de Hilbert".
Il y aussi le livre de T. Roubicek "Nonlinear Partial Differential Equations with Applications", qui couvre pas mal de choses, dont Galerkin, semi-groupe et pb abstrait.

gebrane · June 2018

@QG
Je répète, je n'ai jamais vu un document qui traite le cas non borné dans le même esprit que ce lui que j'ai donné dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1665806,1666024#msg-1666024
Si tu connais un exemple détaillé, merci de le partager . ma conclusion était que cette méthode s'adapte très mal dans le cas non borné.

mati · June 2018

Moi aussi Gebrane je n'ai jamais vu de document qui traite le cas non borné. Je demande un lien ou une référence si c'est possible

O.G. · June 2018

Je ne pratique pas les domaines non bornés.
Comme Héhéhé, je ne vois pas d'obstacle majeur qui fait que Galerkin ne peut pas se faire dans un tel domaine.
Mais je suis d'accord pour le côté "non courant".

Une recherche m'a donné
https://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/141818/AplMat_57-2012-1_4.pdf

et une référence encore plus ancienne que celle de Héhéhé pour les éléments finis
https://pdfs.semanticscholar.org/bb29/5f23a1a1e6ae76ec9d097d7e60f4747a081f.pdf

gebrane · June 2018

Merci QG O.G je suis convaincu

O.G. · June 2018

@gebrane
De rien
Je ne suis pas Q.G. mais O.G., qui ne travaille que dans des ouverts bornés...

gebrane · June 2018

désolé O.G je corrige

gebrane · June 2018

@O.G puisque tu es un spécialiste des EDP dans des ouverts bornés, est ce que ce problème est déjà traiter par Galerkin dans le cas borné

O.G. · June 2018

Je ne sais pas si je suis spécialiste.
Pour ce pb dans un ouvert borné, dès qu'on a suivi un cours sur les pbs paraboliques, c'est un exercice
(et on peut remplacer le laplacien par un opérateur quasi-linéaire ou autre...) (voir le livre de J.L. Lions),
à condition d'avoir la condition de signe $s F(s)>0$ et une condition de croissance.
Sans condition de signe, je pense qu'on peut s'en sortir, avec la condition $|F(s)|\leq a|s|+b$ et le lemme de Gronwall.
Par contre je ne parle pas des questions de régularité.

gebrane · June 2018

Ok merci O.G

Dommage qu'ne traite pas ce genre d'exercices au Forum ( il faut des semaines de discutions pour le traiter vu les étapes)

Héhéhé · June 2018

Mati pour une introduction à la méthode de Galerkin regarde le livre de Grégoire Allaire "analyse numérique et optimisation".

mati · June 2018

O.G ou héhéhé, voici joint la première étape. Je souhaite avoir votre avis, merci

O.G. · June 2018

Bonjour

1) Il y a trop de typos/fautes d'orthographe.
2) conditions au bord sont celles de la périodicité : $f$ est quelconque ? à détailler
3) il faut réellement préciser dans quel sens on résout l'équation. En particulier donner un sens à la condition initiale
(ici $L^\infty(0,T;H^1(\R^n))$ ne donne absolument aucun sens à $u(t=0,x)$).

Il faut s'inspirer de tes cours, des éléments trouvés sur Internet (Héhéhé a conseillé G. Allaire)
et être méticuleux.

O.G.

mati · June 2018

Bonjour,
je m'inspire justement des cours que j'ai trouvé, j'ai suivi le schéma du livre de J.L.Lions.
J'ai une question sur le point 3: Quel est l'espace qui va donner un sens à la condition initiale? Comment on le choisit?

Héhéhé · June 2018

Tu devrais essayer de rédiger ça complètement et proprement dans un cas simple, par exemple avec $F = 0$.

Il faut absolument donner une définition précise de la notion de solution faible de l'équation, et donner un sens précis à la condition aux bords.

mati · June 2018

Dans le cas simple $F=0$ c'est le cas linéaire et c'est déjà rédigé dans le livre d'Evans.
Que veux-tu dire par: donner un sens à solution faible de l'équation? Pour les conditions au bord c'est les conditions de periodicité.

mati · June 2018

@ O.G f est 1 périodique en x

O.G. · June 2018

Bonsoir

Ce n'est pas très agréable de découvrir les hypothèses au fur et à mesure.
D'abord $F$, ensuite on passe d'un domaine non borné (pour lequel il y a
des interrogations légitimes, certains ayant passé du temps pour vérifier)
à un domaine périodique...

Si $f$ est 1- périodique en $x$, je doute que $f$ soit $L^2((0,T)\times\R^n)$...
Bien préciser la notion de solution veut dire : "écrire la formulation variationnelle".
Si $u$ est juste $L^2(0,T; H_{\#})$, $u(t=0,\cdot)$ n'a aucun sens (c'est comme si on voulait donner un sens
à $u(t=0,\cdot)$ pour $u$ dans $L^2(0,T;L^2)$.
Ce n'est pas pour rien qu'il y a toute une artillerie d'espaces compliqués développée dans le livre de J.L. Lions,
les histoires de triplet de Gelfand (pour l'IPP).

Pour justifier qu'il y a une solution pour le système différentiel non linéaire il faut un minimum
de justification et bien écrire en quoi c'est une EDO...

Bon courage
O.G.

mati · June 2018

Voici joint les deux étapes que j'ai essayé d'écrire. J'ai deux questions:
1. si $f(x,t)$ est $1-$ périodique en x alors dans quel espace elle doit être?
2. on cherche $u$ parmi les fonctions $1$ périodiques en $x$ donc $u \in L^2(0,T,H^1_{\#}(\R^n))$ par contre qu'est ce qu'il faut ajouter pour que la condition $u(x,0)=0$ ait un sens? J'ai lu les espaces présentés dans le livre de Lions, mais je ne capte pas comment choisir l'espace pour que la condition initiale ait un sens, surtout dans mon cas.

O.G. · June 2018

Bonjour
Visiblement c'est parti pour un pb d'homogénéisation ?
(parabolique de surcroît)

1) la notation $L^2_\#((0,1)^n)$
Il me semble que la notation est ${L,H,C}_\#((0,1)^n)$ pour dire $1$-périodique.

2) il faut chercher. Il faut (3ème redite) bien écrire la formulation variationnelle.
(0.8) un signe "-" devant le gradient u au carré ?
De (0.8), (0.9) à (.10) il y a du laisser-aller pour la gestion de $u_t$.
Avant de passer à la limite, on extrait et justement avec tous les espaces bien compliqués...
Ce n'est peut-être pas mon job de trop aider non ?

O.G.

mati · June 2018

Bonjour,
est-ce que dans mon problème, la base utilisée est la base hilbertienne formée des fonctions propres du laplacien?

mati · June 2018

Bonjour
dans le document joint à la page 139 comment on obtient la formule que j'ai marqué en jaune? Il n y aurait pas un $T$ qui doit sortir en facteur?

gebrane · June 2018

La formule vient de la formule qui précède, rien ne manque

mati · June 2018

oui gebrane j'avais compris qu'elle vient de ce qui prècede. Qu'est ce qu'on fait à la precedente formule pour obtenir cette en jaune? Si on intègre sur $(0,T)$ alors il manque un T en facteur, si ce n'est pas ça alors c'est quoi?

gebrane · June 2018

On intègre rien pour passer de la précédente à la suivante ! Qui te pose problème ? l’égalité ou l’inégalité

mati · June 2018

C'est ok ça vient de s'imprimer dans mon cerveau. Décidément j'ai du mal aujourd'hui. Merci Gebrane

mati · June 2018

Autre question. Dans la formule jaune il est écrit que $$
||u||^2_{L^2(]0,T[,H^1_0(\Omega))} = \displaystyle\int_0^T \displaystyle\int_{\Omega} |\nabla u|^2 dx dt.
$$ Mais il semble que la definition dit plutôt que $$
||u||^2_{L^2(]0,T[,H^1_0(\Omega))} = \displaystyle\int_0^T \displaystyle\int_{\Omega} |u|^2 dx dt+\displaystyle\int_0^T \displaystyle\int_{\Omega} |\nabla u|^2 dx dt.
$$ Je me trompe ? Et est-ce que c'est la même norme pour $L^2(]0,T[,H^1(\Omega))$ ?