Preuve d'inégalité pour calcul de limite
dans Analyse
Bonjour, il y a deux inégalités que je ne comprends pas. Peut-être ce sont des D.L. (les coeffs laissent cela supposer) mais je ne suis pas encore suffisamment habile pour réussir à les calculer. Avez-vous une idée ?
\begin{align*}
\frac{ ( |x|+|y|)^2 } { \sqrt {x^2 + y^2} } &\leq 4 \sqrt{x^2 + y^2} \\
\frac{ e^{ -\tfrac{1}{\sqrt {x^2 + y^2}} } }{ x^2 + y^2 } &< 6 \sqrt {x^2 + y^2}
\end{align*}
Pourriez-vous m'aider svp ? Et si ce sont des DL comment les calculer ?
Merci.
\begin{align*}
\frac{ ( |x|+|y|)^2 } { \sqrt {x^2 + y^2} } &\leq 4 \sqrt{x^2 + y^2} \\
\frac{ e^{ -\tfrac{1}{\sqrt {x^2 + y^2}} } }{ x^2 + y^2 } &< 6 \sqrt {x^2 + y^2}
\end{align*}
Pourriez-vous m'aider svp ? Et si ce sont des DL comment les calculer ?
Merci.
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Réponses
$$\forall a,b\in\mathbb R,\; 2ab\le a^2+b^2$$
(ce qui donne une meilleure majoration d'ailleurs).
Pour la 2) que peux-tu dire quand $x, y$ tendent vers $0$? Cela semble coincer ici.
À moins que tu sois loin de 0.
Pour la deuxième, c'est justement mon objectif que de calculer la limite ensuite... mais On voit que c'est du x exp(-x) donc en +inf ça devrait donner 0. Mais je cherche une majoration pour le démontrer
Si je peux encore avoir avoir les explications pour la deuxième ça serait génial