Inégalité ?

mehdi · June 2018

Bonjour
Soit $0\leq s\leq t<1$ et $ k\in \mathbb{N},\ k\geq 1.$
Comment puis-je prouver l’inégalité $$ t^{k+1} - s^{k+1} \leq t^{k} - s^{k} \quad? $$ Merci.

Math Coss · June 2018

En étudiant les variations de $t\mapsto t^{k+1}-t^k$ ?

gebrane · June 2018

Avec l'identité remarquable $a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-k-1}b^{k}$ non?

gerard0 · June 2018

Mehdi, tu ne peux pas.

Regarde ce qui se passe pour k=1 avec s=0,7 et t=0,8.

L'étude proposée par Math Coss permet de comprendre ce qui se passe.

mehdi · June 2018

Merci Math Coss

gebrane · June 2018

merci gerard0, j'ai commis une faute dans mon raisonnement, on a $$(a^{n+1}-b^{n+1})-(a^n-b^n)=(a-b)\big[b^n+\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-k}b^{k}(1-\frac 1a)\big]$$
j'étais étourdi de croire que $1-\frac 1a >0$

Inégalité ?

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Bonjour!

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