Intégrale de l’intersection
dans Analyse
Bonjour,
On a $\int 1_{A\cap B}(x)dx=\int 1_A(x)1_B(x)dx$
Est-ce égal à $\int 1_A(x)dx.\int 1_B(x)dx$?
Merci d’avance
On a $\int 1_{A\cap B}(x)dx=\int 1_A(x)1_B(x)dx$
Est-ce égal à $\int 1_A(x)dx.\int 1_B(x)dx$?
Merci d’avance
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Réponses
– OK, allons-y, dis-moi un espace mesuré raisonnable ?
– $\R$ ?
– Bon d'accord. Avec la mesure de Lebesgue, ça te va ?
– Oui, OK.
– Alors allons-y : tu connais des parties de $\R$ ?
– Ben, $\R$ ?
– D'accord. Alors $A=B=\R$ : ça donne $\infty=\infty^2$, ça marche. Une autre partie ?
– Ah oui ! L'ensemble vide.
– D'accord. Avec $A=B=\emptyset$, l'égalité s'écrit $0=0\times0$. Une autre partie ?
– Ah ! oui ! $[0,1]$.
– D'accord. Avec $A=B=[0,1]$, l'égalité s'écrit $1=1\times1$. Ah ! Mais ça marche tout le temps alors ? Donne-moi une autre partie pour voir ?
– Euh... $[0,2]$ ?
– Voyons : $A=B=[0,2]$, alors $A\cap B=\cdots$
– Eh bien, $[0,2]$ bien sûr !
– Ah oui ! C'est ça. Alors $\int_\R\mathbf{1}_{[0,2]}(x)\mathrm{d}x=2$, et de l'autre côté : $\int_\R\mathbf{1}_{[0,2]}(x)\mathrm{d}x\int_\R\mathbf{1}_{[0,2]}(x)\mathrm{d}x=4$. Ah ben non, ça ne marche pas.
– Ah bon. Dommage, pourtant c'était facile à retenir.
– Eh bien oui mais il ne faut pas exagérer quand même.
Ton explication est merveilleuse, j'ai bien aimé ( il faut se poser les bonnes questions pour trouver les bonnes réponses)
(En accéléré parce que 17 répliques sur le forum, on y passe la soirée et la nuit.)