Formes différentielles exactes/fermées

Pour enfoncer le clou, par définition, une forme $\omega=\sum_{i=1}^na_i\mathrm{d}x_i$ est exacte si elle dérive d'un potentiel (dans les notations de Gebrane, une fonction $f$ telle que $\omega=\mathrm{d}f$, c'est-à-dire telle que $a_i=\frac{\partial f}{\partial x_i}$). Un potentiel, ici, c'est une $0$-forme, c'est-à-dire une fonction.

Ce qui est « presque évident » (ou plutôt : facile à accepter mais pas si facile à démontrer), c'est le théorème de Schwarz : pour une fonction $f$ assez régulière, les dérivées croisées sont égales : $\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}=\frac{\partial^2f}{\partial x_j\partial x_i}$. Par conséquent, si $a_i=\frac{\partial f}{\partial x_i}$, alors $\frac{\partial a_i}{\partial x_j}=\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}=\frac{\partial a_j}{\partial x_i}$. Autrement dit, si une $1$-forme est exacte, alors elle est fermée.

Ce qui n'est pas évident là-dedans, c'est le lemme de Poincaré rappelé par Gebrane : si une forme est fermée sur un ouvert étoilé, elle est exacte, c'est-à-dire qu'elle dérive d'un potentiel.

Le "donc elle admet un potentiel" est mal placé.
Toute forme exacte admet un potentiel mais pas toute forme fermée.

Bonjour Math Coss
Quelle est ta définition d'une 1-forme différentielle sur un ouvert $\Omega$ de $\R^n$ ? C'est-à-dire tu supposes quoi comme régularité sur les fonction $a_i$, "la" définition change suivant les auteurs.

@ArmandF : Si tu veux dire : « J'aurais dû écrire que si une 1-forme est exacte alors elle est fermée et elle admet un potentiel », nous sommes d'accord. (Selon ce que tu avais en tête, ce « donc » en trop était une erreur de raisonnement ou une maladresse de rédaction.)

@Gebrane : Euh, eh bien... Hop, je vais faire semblant de n'avoir pas vu la question...