Contre exemple de Bernoulli L'Hospital

Un_compact_ferme
Un_compact_ferme
dans Analyse
Bonjour,

B.H. ne s’utilise que dans certains cas : 0/0 ou inf/inf. Cela se démontre avec le Théorème des accroissements finis généralisé.

Ma question est la suivante. Je me rappelle de contre exemple (avec un cos peut être et des polynômes) qui montrent qu'on ne peut pas appliquer B.H. si on ne se trouve pas dans les cas cités précédemment.
Je me demande donc si vous pouviez me rappeler un de ces exemples (je ne les retrouve plus) et surtout, pourquoi est ce que cela ne fonctionne pas ?


J'ai l'habitude de voir B.H. comme un DL à l'ordre 0. Mais dans le cas des DL on peut aller plus loin dans le développement et sans problème obtenir quand même le résultat. Qu'elle est le problème pour BH?


merci !

Réponses

  • gebrane
    gebrane
    Bonjour

    S.t.p peux-tu m'indiquer une autre forme indéterminée autre que 0/0 ou inf/inf pour un quotient f/g
    Le 😄 Farceur


  • Poirot
    Poirot
    Pourquoi voudrais-tu appliquer L'Hospital pour quelque chose qui n'est pas une forme indéterminée de toute façon ?
  • Un_compact_ferme
    Un_compact_ferme
    Pour un quotient il n'y a pas d'autres formes indéterminées je crois.
    Imaginons qu'on a un polynôme en haut et en bas, on dérive deux fois les deux polynômes le résultat ne nécessite même aucun calcul... c'est pour aller plus vite. Mais cette méthode ne marche pas. Je viens donc demander pourquoi :)
  • gebrane
    gebrane
    Donne un exemple précis pour voir ce qui ne marche pas
    Le 😄 Farceur


  • Un_compact_ferme
    Un_compact_ferme
    non mais... c'est ma question j'ai pas en tête d'exemple hahah
    Un_compact_ferme écrivait:
    > Je me demande donc si vous pouviez me rappeler un
    > de ces exemples (je ne les retrouve plus) et
    > surtout, pourquoi est ce que cela ne fonctionne
    > pas ?
  • Dom
    Dom
    Si j'ai bien compris on cherche deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $R$, dérivables et un réel $a$ tels que :

    $f(a)=g(a)$ et $f(a)\neq 0$ et $g'(a)\neq 0$

    $\lim_a \dfrac{f(x)}{g(x)} \neq \dfrac {f'(a)}{g'(a)}$

    Remarque : la limite est exactement la valeur $\dfrac{f(a)}{g(a)}$.
  • gebrane
    gebrane
    je parlais d'un exemple de ton truc sur le rapport de deux polynômes. Pour ta question initiale tu as la réponse de Poirot
    Le 😄 Farceur


  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Règle de l'Hôpital :
    Soit $\displaystyle f$ et $g$ deux fonctions numériques définies sur un intervalle ouvert $\displaystyle I \subset \R$, dérivables sur $I$ sauf peut-être en $\displaystyle a \in I.$
    SI $\displaystyle \lim_{a}f =\ell, \lim_{a}g =\ell$ avec $\displaystyle \ell \in \{0, +\infty, -\infty\}$, ET $\displaystyle g'(x) \neq 0, x \in I \setminus \{a\}$, ET il existe $\displaystyle \lim_{a} {f' \over g'}$, ALORS $\displaystyle \lim_{a}{f \over g}= \lim_{a}{f' \over g'}.$

    Comme c'est un théorème, il n'y a pas de contre-exemple !

    Mais si on omet l'hypothèse $\displaystyle g'(x) \neq 0, x \in I \setminus \{a\}$, alors on peut construire une infinité de contre-exemples. On trouve souvent cité : $\displaystyle f(x) = x+ \sin x \cos x, g(x) = f(x) \exp \sin x, a=+\infty.$ Je vous laisse montrer que $\displaystyle \lim_{a}{f \over g}$ n'existe pas alors que $\displaystyle \lim_{a} {f' \over g'} = 0.$
  • gebrane
    gebrane
    @YvesM si on suppose que $\displaystyle \lim_{a} {f' \over g'}$ existe c'est que f' et g' sont définies au voisinage de a c'est à dire g' est non nulle au voisinage de a. la nécessité de l'hypothèse ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ dépend de la définition de limite que l'on utilise
    Le 😄 Farceur


  • Un_compact_ferme
    Un_compact_ferme
    oh très sympa comme exemple merci ! Je cherchais plutôt dans le sens cité par Dom, mais c'est aussi un jolie exemple!
  • rakam
    rakam
    Je me permets de revenir sur la nécessité(?) d'une forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$ !
    On peut montrer :
    Soit $f,g$ dérivables sur un voisinage de $+\infty$
    $f$ à valeurs dans un Banach $E$
    $g$ à valeurs réelles de limite infinie
    $g'$ ne s'annulant pas sur un voisinage de $+\infty$.
    Si $\dfrac{1}{g'}f'$ a une limite en $+\infty$ (limite dans $E$ ou infinie quand $E=\R$) alors $\dfrac1g f$ a la même limite.

    A aucun moment on a besoin de savoir si $f$ a une limite ou pas (bien évidemment si $f$ a une limite infinie, on retrouve la forme indéterminée) mais $f$ peut ne pas avoir de limite ni même être bornée.
  • Un_compact_ferme
    Un_compact_ferme
    rakam
    Oui mais ici je cherche un exemple où la dérivé du haut et du bas ne donne pas de résultat, ou un résultat faux, alors que les fonctions f/g donnent un résultat.

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    $f(x) = x, g(x) = 1, \forall x \in \R$, on a $f'(x) = 1, g'(x)=0$ et la limite de $f/g$ en $1$ existe alors que la limite de $f'/g'$ en $1$ n'existe pas.
  • Un_compact_ferme
    Un_compact_ferme
    génial merci !
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