Rayon de convergence série entière

Bonjour,
déjà la limite de $\dfrac{\frac{1}{(n+2)^{\sqrt{n+1}}}}{\frac{1}{(n+1)^{\sqrt{n}}}}$ est la même que celle de $\dfrac{\frac{1}{(n+1)^{\sqrt{n+1}}}}{\frac{1}{(n+1)^{\sqrt{n}}}}$ car $n+1$ et $n+2$ sont équivalent en $+ \infty$
$\dfrac{\frac{1}{(n+1)^{\sqrt{n+1}}}}{\frac{1}{(n+1)^{\sqrt{n}}}}=\frac{e^{\sqrt{n}\ln(n+1)}}{e^{\sqrt{n+1}\ln(n+1)}}=e^{(\sqrt{n}-\sqrt{n+1})\ln(n+1)}=e^{\frac{-1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\ln(n+1)}$

$\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{-1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\ln(n+1) = 0 $
$\lim\limits_{n \to +\infty} e^{\frac{-1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\ln(n+1)} = 1 $
$\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{\frac{1}{(n+1)^{\sqrt{n+1}}}}{\frac{1}{(n+1)^{\sqrt{n}}}} = 1$
Le rayon de convergence de cette série $\displaystyle \sum_{n \geq 0} \frac{z^n}{(n+1)^{\sqrt{n}}}.$ est donc 1

On me demande ensuite d'étudier la convergence absolue sur le cercle de rayon le rayon de convergence soit 1.

Donc ici, on me demande si $\displaystyle \sum_{n \geq 0} \Big|\frac{1^n}{(n+1)^{\sqrt{n}}}\Big| = \sum_{n \geq 0} \frac{1}{(n+1)^{\sqrt{n}}}$ converge.
Comment faire ?

Bonjour,

Voici ma solution avec des outils que je maîrise :
$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\exp \left(\sqrt{n}\ln(n+1)-\sqrt{n+1}\ln(n+2)\right)=\exp \left(1-\frac{\sqrt{n+1}\ln(n+2)}{\sqrt{n}\ln(n+1)}\right)=\exp \left(1-\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}\times \frac{\ln(n+2)}{\ln(n+1)}\right)$

or
$\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}} = 1 $
$\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{\ln(n+2)}{\ln(n+1)} = \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{\ln(n+2)}{\ln(n+2-1)}=\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{\ln(n+2)}{\ln((n+2)(1-\frac{1}{n+2}))}= \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{\ln(n+2)}{\ln(n+2)+ln(1-\frac{1}{n+2})}= \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{1+\frac{\ln(1-\frac{1}{n+2})}{\ln(n+2)}}=1 $

On a ainsi
$\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = 1 $

Le rayon de convergence de cette série $\displaystyle \sum_{n \geq 0} \frac{z^n}{(n+1)^{\sqrt{n}}}$ est donc 1

Pour voir si $\displaystyle \sum_{n \geq 0} \Big|\frac{1^n}{(n+1)^{\sqrt{n}}}\Big| = \sum_{n \geq 0} \frac{1}{(n+1)^{\sqrt{n}}}$ converge :

En utilisant l'indication de @Balix :

Pour tout entier $n \geq 4$, $\frac{1}{(n+1)^{\sqrt{n}}} \leq \frac{1}{(n+1)^2}$

De plus la série de terme général $\frac{1}{(n+1)^2}$ converge car son terme général est équivalent au terme général $\frac{1}{n^2}$ en $+ \infty$ qui est le terme d'une série de Riemann convergente.
Ainsi $\displaystyle \sum_{n \geq 0} \frac{z^n}{(n+1)^{\sqrt{n}}} $ converge absolument sur le cercle de rayon 1.