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Trouver l'équation d'une parabole

Envoyé par delphin 
Trouver l'équation d'une parabole
il y a cinq mois
Bonjour

Soit P une parabole de sommet $S (2,-3)$ et passant par $A (-1;1)$.
Trouver l'équation de cette parabole.

Je connais le sommet ... et je connais un point ...
Donc : je connais le sommet... et je connais deux points...

L'axe de symétrie de la parabole est la droite x = -b/2a

Pour des raisons de symétrie, l'équation de l'axe de symétrie est la moyenne de deux poins de la parabole ayant la même ordonnée.

Par symétrie, je trouve un deuxième point $B (5;1).$
$f(-1) = a.(-1)^2 + (-1).b + c = -a -b + c = 1$
$f(5) = a.(5)^2 + b.(5) + c = 5a + 5b + c = 1 $
J'ai 3 inconnues et 2 équations !



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par AD.
Re: trouver l'équation d'une parabole
il y a cinq mois
Tu as plus d'équations. On sait que tout polynôme du deuxième ordre peut s'écrire sous forme canonique (il doit y avoir des articles sur internet).

Tu as bien trouvé une équation en utilisant le alpha de la formule, qui correspond au sommet de la parabole. Néanmoins, tu peux extraire de ça une deuxième équation, en utilisant le beta qui a aussi une expression en fonction de a,b,c coefficient de ton polynôme. Trouve la formule sur internet et tu auras tes trois équations ;)
Bonne journée !



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par AD.
Re: trouver l'équation d'une parabole
il y a cinq mois
Le sommet de la parabole est donné par $\alpha = -b/2a$
j'ai une première équation avec l'abscisse du sommet de la parabole $\alpha = -b/2a $ <=> $2 = -b/2a $ <=> $b = 4a$

$\beta =-\frac{-b²- 4ac}{4a²}$

pour exprimer une deuxième équation, il me faut au moins a et c ...



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par delphin.
Re: trouver l'équation d'une parabole
il y a cinq mois
avatar
Tu as les 3 équations $a-b+c = 1$ , 4a+2b+c = 3 $4a+2b+c = -3$, $4a+b = 0$
edit merci gabu

--------------------------------------------------------------------------
[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par gebrane.
Re: trouver l'équation d'une parabole
il y a cinq mois
$\alpha = - \frac{b}{2a}$

Or $S (2;-3)$

Ainsi : $2 = -\frac{b}{2a}$ <=> $0 = -\frac{b}{2a} - 2$ <=> $0 = -\frac{b}{2a}-\frac{4a}{2a}$ <=> 4a + b = 0



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par delphin.
Re: trouver l'équation d'une parabole
il y a cinq mois
pour 4a + 2b + c = 3
je ne vois pas ...
Re: trouver l'équation d'une parabole
il y a cinq mois
Une parabole passe par son sommet (méfie-toi, Gebrane a oublié un signe).
Re: Trouver l'équation d'une parabole
il y a cinq mois
On peut montrer aisément que le polynôme est de la forme $$P(x)=a(x-x_s)^2 +y_s$$ puisque le sommet est un extremum. Il ne reste plus qu'à utiliser le point A pour trouver l'expression.
Re: Trouver l'équation d'une parabole
il y a cinq mois
Je ne comprends pas comment tu obtiens la 3e équation
remarque : on n'a pas encore vu les dérivées..
Re: Trouver l'équation d'une parabole
il y a cinq mois
Je répète :
UNE PARABOLE PASSE PAR SON SOMMET !
Re: Trouver l'équation d'une parabole
il y a cinq mois
je pose
S (2;-3)
A (-1;1)


$P(x) = a(x -x_{S} )² + y_{S}$

soit : $P(x) = a (x - 2)² - 3$


Je pose P(x;y) - -- > A (-1;1)

Alors pour P :

-1 = a(1 -2)² - 3

-1 + 3 = a (-1)²
a = 2


Donc : P(x ) = 2 (x - 2)² -3
Re: Trouver l'équation d'une parabole
il y a cinq mois
j'avais trouvé un deuxième point, le point B (5.1) en cherchant l'abscisse d'un autre point de la parabole ayant la meme ordonnée.

maintenant je vérifie par la symétrie de la parabole :

en posant P(x,y) - - > B(5;1)

Alors pour P :

1 = 2 (x -2)² - 3

1 = 2(5-2)² - 3
1 = 2 .9 - 3
1 = 18 - 3

et ça ne marche pas ...



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par delphin.
Re: Trouver l'équation d'une parabole
il y a cinq mois
Normal, puisque tu t'es fichu dedans dans ton premier calcul. Le point $A$ a pour abscisse $-1$ et ordonnée $1$. Dans ton calcul, tu as écrit l'inverse.
Re: Trouver l'équation d'une parabole
il y a cinq mois
$y = a (x - x_{s})² + y_{S}$

posons S (2;-3)


y = a (x - 2)² + (- 3)

posons P(x;y) - - > A (-1;1)

Alors, pour P :

1 = a ((-1) - 2)² - 3



1 + 3 = a (-3)²
4 / 9 = a

Donc :
y = 4/9 (x-2)² - 3



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par delphin.
Re: Trouver l'équation d'une parabole
il y a cinq mois
je cherche l'abscisse d'un autre point de la parabole dont l'ordonnée est 1

sachant que $\alpha=2$

alors $\alpha = \frac{x_{1}+x_{2}}{2}\Leftrightarrow 2=\frac{-1+x_{2}}{2}$

je trouve un deuxième point B(5;1)

posons B (5;1)

P(x,y) - - - > B (5;1)

Alors, pour P :
1 = 4/9 ((5) - 2)² - 3

1 = 4/9 (3)² - 3
1 = 4/9 . 9 - 3
1 = 36/9 - 3
1 = 4 - 3
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