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Trouver l'équation d'une parabole

delphindelphin
dans Analyse
Bonjour

Soit P une parabole de sommet $S (2,-3)$ et passant par $A (-1;1)$.
Trouver l'équation de cette parabole.

Je connais le sommet ... et je connais un point ...
Donc : je connais le sommet... et je connais deux points...

L'axe de symétrie de la parabole est la droite x = -b/2a

Pour des raisons de symétrie, l'équation de l'axe de symétrie est la moyenne de deux poins de la parabole ayant la même ordonnée.

Par symétrie, je trouve un deuxième point $B (5;1).$
$f(-1) = a.(-1)^2 + (-1).b + c = -a -b + c = 1$
$f(5) = a.(5)^2 + b.(5) + c = 5a + 5b + c = 1 $
J'ai 3 inconnues et 2 équations !

Réponses

  • Un_compact_fermeUn_compact_ferme
    Tu as plus d'équations. On sait que tout polynôme du deuxième ordre peut s'écrire sous forme canonique (il doit y avoir des articles sur internet).

    Tu as bien trouvé une équation en utilisant le alpha de la formule, qui correspond au sommet de la parabole. Néanmoins, tu peux extraire de ça une deuxième équation, en utilisant le beta qui a aussi une expression en fonction de a,b,c coefficient de ton polynôme. Trouve la formule sur internet et tu auras tes trois équations ;)
    Bonne journée !
  • delphindelphin
    Le sommet de la parabole est donné par $\alpha = -b/2a$
    j'ai une première équation avec l'abscisse du sommet de la parabole $\alpha = -b/2a $ <=> $2 = -b/2a $ <=> $b = 4a$

    $\beta =-\frac{-b²- 4ac}{4a²}$

    pour exprimer une deuxième équation, il me faut au moins a et c ...
  • gebranegebrane
    Tu as les 3 équations $a-b+c = 1$ , 4a+2b+c = 3 $4a+2b+c = -3$, $4a+b = 0$
    edit merci gabu
    Le 😄 Farceur


  • delphindelphin
    $\alpha = - \frac{b}{2a}$

    Or $S (2;-3)$

    Ainsi : $2 = -\frac{b}{2a}$ <=> $0 = -\frac{b}{2a} - 2$ <=> $0 = -\frac{b}{2a}-\frac{4a}{2a}$ <=> 4a + b = 0
  • delphindelphin
    pour 4a + 2b + c = 3
    je ne vois pas ...
  • GaBuZoMeuGaBuZoMeu
    Une parabole passe par son sommet (méfie-toi, Gebrane a oublié un signe).
  • jcomblejcomble
    On peut montrer aisément que le polynôme est de la forme $$P(x)=a(x-x_s)^2 +y_s$$ puisque le sommet est un extremum. Il ne reste plus qu'à utiliser le point A pour trouver l'expression.
  • delphindelphin
    Je ne comprends pas comment tu obtiens la 3e équation
    remarque : on n'a pas encore vu les dérivées..
  • GaBuZoMeuGaBuZoMeu
    Je répète :
    UNE PARABOLE PASSE PAR SON SOMMET !
  • delphindelphin
    je pose
    S (2;-3)
    A (-1;1)


    $P(x) = a(x -x_{S} )² + y_{S}$

    soit : $P(x) = a (x - 2)² - 3$


    Je pose P(x;y) - -- > A (-1;1)

    Alors pour P :

    -1 = a(1 -2)² - 3

    -1 + 3 = a (-1)²
    a = 2


    Donc : P(x ) = 2 (x - 2)² -3
  • delphindelphin
    j'avais trouvé un deuxième point, le point B (5.1) en cherchant l'abscisse d'un autre point de la parabole ayant la meme ordonnée.

    maintenant je vérifie par la symétrie de la parabole :

    en posant P(x,y) - - > B(5;1)

    Alors pour P :

    1 = 2 (x -2)² - 3

    1 = 2(5-2)² - 3
    1 = 2 .9 - 3
    1 = 18 - 3

    et ça ne marche pas ...
  • GaBuZoMeuGaBuZoMeu
    Normal, puisque tu t'es fichu dedans dans ton premier calcul. Le point $A$ a pour abscisse $-1$ et ordonnée $1$. Dans ton calcul, tu as écrit l'inverse.
  • delphindelphin
    $y = a (x - x_{s})² + y_{S}$

    posons S (2;-3)


    y = a (x - 2)² + (- 3)

    posons P(x;y) - - > A (-1;1)

    Alors, pour P :

    1 = a ((-1) - 2)² - 3



    1 + 3 = a (-3)²
    4 / 9 = a

    Donc :
    y = 4/9 (x-2)² - 3
  • delphindelphin
    je cherche l'abscisse d'un autre point de la parabole dont l'ordonnée est 1

    sachant que $\alpha=2$

    alors $\alpha = \frac{x_{1}+x_{2}}{2}\Leftrightarrow 2=\frac{-1+x_{2}}{2}$

    je trouve un deuxième point B(5;1)

    posons B (5;1)

    P(x,y) - - - > B (5;1)

    Alors, pour P :
    1 = 4/9 ((5) - 2)² - 3

    1 = 4/9 (3)² - 3
    1 = 4/9 . 9 - 3
    1 = 36/9 - 3
    1 = 4 - 3
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