Trouver l'équation d'une parabole
Bonjour
Soit P une parabole de sommet $S (2,-3)$ et passant par $A (-1;1)$.
Trouver l'équation de cette parabole.
Je connais le sommet ... et je connais un point ...
Donc : je connais le sommet... et je connais deux points...
L'axe de symétrie de la parabole est la droite x = -b/2a
Pour des raisons de symétrie, l'équation de l'axe de symétrie est la moyenne de deux poins de la parabole ayant la même ordonnée.
Par symétrie, je trouve un deuxième point $B (5;1).$
$f(-1) = a.(-1)^2 + (-1).b + c = -a -b + c = 1$
$f(5) = a.(5)^2 + b.(5) + c = 5a + 5b + c = 1 $
J'ai 3 inconnues et 2 équations !
Soit P une parabole de sommet $S (2,-3)$ et passant par $A (-1;1)$.
Trouver l'équation de cette parabole.
Je connais le sommet ... et je connais un point ...
Donc : je connais le sommet... et je connais deux points...
L'axe de symétrie de la parabole est la droite x = -b/2a
Pour des raisons de symétrie, l'équation de l'axe de symétrie est la moyenne de deux poins de la parabole ayant la même ordonnée.
Par symétrie, je trouve un deuxième point $B (5;1).$
$f(-1) = a.(-1)^2 + (-1).b + c = -a -b + c = 1$
$f(5) = a.(5)^2 + b.(5) + c = 5a + 5b + c = 1 $
J'ai 3 inconnues et 2 équations !
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Réponses
Tu as bien trouvé une équation en utilisant le alpha de la formule, qui correspond au sommet de la parabole. Néanmoins, tu peux extraire de ça une deuxième équation, en utilisant le beta qui a aussi une expression en fonction de a,b,c coefficient de ton polynôme. Trouve la formule sur internet et tu auras tes trois équations
Bonne journée !
j'ai une première équation avec l'abscisse du sommet de la parabole $\alpha = -b/2a $ <=> $2 = -b/2a $ <=> $b = 4a$
$\beta =-\frac{-b²- 4ac}{4a²}$
pour exprimer une deuxième équation, il me faut au moins a et c ...
edit merci gabu
Or $S (2;-3)$
Ainsi : $2 = -\frac{b}{2a}$ <=> $0 = -\frac{b}{2a} - 2$ <=> $0 = -\frac{b}{2a}-\frac{4a}{2a}$ <=> 4a + b = 0
je ne vois pas ...
remarque : on n'a pas encore vu les dérivées..
UNE PARABOLE PASSE PAR SON SOMMET !
S (2;-3)
A (-1;1)
$P(x) = a(x -x_{S} )² + y_{S}$
soit : $P(x) = a (x - 2)² - 3$
Je pose P(x;y) - -- > A (-1;1)
Alors pour P :
-1 = a(1 -2)² - 3
-1 + 3 = a (-1)²
a = 2
Donc : P(x ) = 2 (x - 2)² -3
maintenant je vérifie par la symétrie de la parabole :
en posant P(x,y) - - > B(5;1)
Alors pour P :
1 = 2 (x -2)² - 3
1 = 2(5-2)² - 3
1 = 2 .9 - 3
1 = 18 - 3
et ça ne marche pas ...
posons S (2;-3)
y = a (x - 2)² + (- 3)
posons P(x;y) - - > A (-1;1)
Alors, pour P :
1 = a ((-1) - 2)² - 3
1 + 3 = a (-3)²
4 / 9 = a
Donc :
y = 4/9 (x-2)² - 3
sachant que $\alpha=2$
alors $\alpha = \frac{x_{1}+x_{2}}{2}\Leftrightarrow 2=\frac{-1+x_{2}}{2}$
je trouve un deuxième point B(5;1)
posons B (5;1)
P(x,y) - - - > B (5;1)
Alors, pour P :
1 = 4/9 ((5) - 2)² - 3
1 = 4/9 (3)² - 3
1 = 4/9 . 9 - 3
1 = 36/9 - 3
1 = 4 - 3