Fonction $\mathscr C^{\infty}$ nulle

Soit $f$ une fonction de classe $\mathscr C^{\infty}$ sur $\R$ telle que $f^{(n)}(0)=0$ et il existe $\lambda >0$ telle que pour tout $n\in\N$ et $\sup_{\mathbb R}|f|\le\lambda^nn!$. Alors $f$ est nulle. Je sais le démontrer par récurrence en considérant les intervalles $[-\frac n\lambda,\frac n\lambda]$. Dans un exo, il propose une autre démonstration en montrant que $f^{-1}(\{0\})$ est un ouvert (après comme il est fermé, il n' y a plus le choix...). Je n'arrive pas à voir pourquoi ?

Quelqu'un a une idée ? Merci d'avance.