Calcul d'une limite

Exactement de la même manière, passer sous forme exponentielle et faire un développement limité.

Bonjour,

@Cidrolin : je ne conteste pas que l'on puisse poser $n=2m$, mais je ne sais pas le démontrer. Comment fait-on ? A quelle condition a-t-on $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{m \to +\infty} u_{2m}$ pour une suite $u$ ?

Bonjour,

OK. Dans notre cas, on ne sait pas si la suite $u$ définie par son terme $\displaystyle u_n=(1+{2 \over n})^n, n \in \N^*$ converge. Il faut d'abord montrer la convergence avant d'utiliser $n=2m$...

Pardon, YvesM, mais sur ce fil tu est largement moins inspiré que d'habitude.

Il suffit d'écrire : \[\left(1+\frac{1}{m}\right)^{2m}=\left[\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}\right]^2.\]PS à Tartuffex : On aurait pu jouer pendant un bon moment comme ça, à poser $n=2m$ et $m=n/2$ dans la foulée...

Bizarre. Le titre a changé ?!

@YvesM
Je comprends ce que tu dis. Cependant, le premier message de @Héhéhé répond à la question, il me semble.
C'est comme d'habitude, ce n'est pas aisé de savoir si tous les messages sont pris en compte par tous ceux qui suivent (heu...est-ce compréhensible ? 8-))

Bonjour,

Alors voilà : on donne $\displaystyle e = \lim_{n \to +\infty} (1+{1 \over n})^n$ et on demande de démontrer que $\displaystyle e^2 = \lim_{n \to +\infty} (1+{2 \over n})^n.$

Si l'on sait procéder comme @Héhéhé le suggère, par un développement limité en écriture exponentielle, alors on le fait. Très bien, mais si on sait faire ça, on sait aussi montrer que $\displaystyle e = \lim_{n \to +\infty} (1+{1 \over n})^n$, n'est-ce pas ? L'énoncé est donc certainement destiné à des étudiants qui ne savent pas procéder ainsi.

Quant à la méthode que suggère @Dom, elle consiste d'abord à montrer que la suite $u$ définie par $\displaystyle u_n=(1+{2 \over n})^n, n \in \N^*$ converge puis à écrire $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} u_{2n} = \lim_{n \to +\infty} \Big((1+{1 \over n})^n\Big)^2 = e^2$, par composition avec la fonction $\displaystyle u \mapsto u^2, u \in \R.$ Ici aussi, il faudrait montrer la convergence sans un développement limité en écriture exponentielle, par exemple en montrant que la suite $u$ est croissante et bornée (si c'est vrai).

@tartuffex a commencé un raisonnement qui aboutit mais n'a pas poursuivi son calcul. Et comme il ne sait pas procéder par un développement limité en écriture exponentielle (sinon on n'en serait pas là), alors voici ce qu'il peut faire :
Puisque $\displaystyle e = \lim_{n \to +\infty} (1+{1 \over n})^n$ alors $\displaystyle e^2 = \lim_{n \to +\infty} (1+{1 \over n})^{2n}$ par composition avec la fonction $\displaystyle u \mapsto u^2, u \in \R.$ Pour démontrer que $\displaystyle e^2 = \lim_{n \to +\infty} (1+{2 \over n})^n$ il suffit donc de démontrer que $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (1+{1 \over n})^{2n} = \lim_{n \to +\infty} (1+{2 \over n})^n$ - c'est la question qu'il pose - et comme aucun des termes ne s'annule, il suffit de démontrer que $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} {(1+{1 \over n})^{2n} \over (1+{2 \over n})^n} = 1.$
Mon indication consiste à écrire au dénominateur $\displaystyle 1+{2 \over n} = (1+{1 \over n}) + {1 \over n} =(1+{1 \over n}) (1+{1 \over n+1}) $, on arrive alors à : $\displaystyle {(1+{1 \over n})^{2n} \over (1+{2 \over n})^n}={(1+{1 \over n})^{n} \over (1+{1 \over n+1})^n} = {(1+{1 \over n})^{n} (1+{1 \over n+1})\over (1+{1 \over n+1})^{n+1}} .$ Comme l'énoncé donne $\displaystyle e = \lim_{n \to +\infty} (1+{1 \over n})^n$, on trouve que ce rapport tend vers $\displaystyle {e \times 1 \over e} = 1.$
On a utilisé le fait que, pour une suite $v$ définie par $\displaystyle v_n, n \in \N$ si $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n$ converge alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_{n+1}$ converge aussi vers la même limite.

Cherchons un peu. On suppose $x_n \sim y_n$ et $x_n > 0$ à partir d'un certain rang. Pour $n$ suffisamment grand, on a $$x_n^n = \exp(n \log x_n) = \exp(n \log(y_n(1+o(1))) = y_n^n \exp(n\log (1+o(1))).$$ Une condition nécessaire et suffisante est donc que le $\log(1+o(1))$ en question soit négligeable devant $\frac{1}{n}$, ou encore que le $o(1)$ soit négligeable devant $\frac{1}{n}$.