Convergence uniforme, dérivation
dans Analyse
Bonjour,
Je suis en train de travailler les suites de fonctions, et je me questionnais un peu sur les théorèmes d'interversion de limite :
Si on est dans un Banach et qu'on a une suite de fonctions continues qui converge uniformément sur un segment, alors l'intégrale de la limite est égale à la limite de l'intégrale.
On sait aussi que la fonction limite est continue.
Maintenant prenons les hypothèses suivantes : toujours dans un Banach, toujours sur un segment, on a cette fois ci une suite de fonctions C1 qui converge uniformément vers une fonction dont on sait qu'elle est C1.
J'aimerais dire que la suite des dérivées converge uniformément vers la dérivée, mais je sais déjà que c'est faux.
Malgré tout je me demande : Est-ce qu'on pourrait trouver des conditions à ajouter pour garantir la convergence uniforme des dérivées ?
Par exemple :
"Si de plus la suite des dérivées converge simplement vers la dérivée de la limite alors la convergence est uniforme"
ou
'Si la suite des dérivées converge uniformément vers une certaine fonction"
Si vous avez des idées d'hypothèses de ce genre qu'il faut ou qu'il suffit d'ajouter je suis preneur...
Je suis en train de travailler les suites de fonctions, et je me questionnais un peu sur les théorèmes d'interversion de limite :
Si on est dans un Banach et qu'on a une suite de fonctions continues qui converge uniformément sur un segment, alors l'intégrale de la limite est égale à la limite de l'intégrale.
On sait aussi que la fonction limite est continue.
Maintenant prenons les hypothèses suivantes : toujours dans un Banach, toujours sur un segment, on a cette fois ci une suite de fonctions C1 qui converge uniformément vers une fonction dont on sait qu'elle est C1.
J'aimerais dire que la suite des dérivées converge uniformément vers la dérivée, mais je sais déjà que c'est faux.
Malgré tout je me demande : Est-ce qu'on pourrait trouver des conditions à ajouter pour garantir la convergence uniforme des dérivées ?
Par exemple :
"Si de plus la suite des dérivées converge simplement vers la dérivée de la limite alors la convergence est uniforme"
ou
'Si la suite des dérivées converge uniformément vers une certaine fonction"
Si vous avez des idées d'hypothèses de ce genre qu'il faut ou qu'il suffit d'ajouter je suis preneur...
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