Limite
Réponses
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Idée intuitive : L'adhérence est accessible par les valeurs autorisées, c'est à dire les valeurs du domaine de définition.
Par contre, si l'on ne parle pas d'un point de l'adhérence, comment "accéder à ce point" par la fonction ?
Pour $\ln$ on peut étudier une limite en $0$ même si ce n'est pas défini en $0$. Il suffit de s'approcher de plus en plus de $0$ et d'étudier ce qui se passe.
Mais en $-1$, on ne peut pas s'y approcher. -
C'est pour pouvoir "l'approcher". La définition que je connais et dont tu parles surement est la suivante :
Soient $E$ et $F$ deux espaces topologiques, $A$ une partie non vide de $E$, $f$ une application de $A$ dans $F$, et $b$ un point de $E$ adhérent à $A$. On dit qu'un élément $l$ de $F$ est limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $b$ dans $A$ si pour tout voisinage $V$ de $l$, il existe un voisinage $U$ de $b$ dans $E$ tel que $f(U \cap A) \subset V$
On voit dans cette définition qu'il est mention de $U \cap A$. Si l'on avait pas supposé $b$ adhérent à $A$, cet ensemble aurait pu être vide. -
Merci pour vous
Oui, mais voila ce que mon ami ma dit conernant la notion de limite la plus rigoureuse :Je veux juste préciser qu'il y'a un cadre encore plus général pour introduire la notion de limite. Ce cadre est celui des filtres.
Etant donné un ensemble E; on appelle filtre sur E toute partie F non vide de P(E) tel que :
(i) F est stable par intersection finie
(ii) Si A appartient à F et A inclus dans B alors B appartient à F ( propriété de l'hérédité)
L'exemple le plus élémentaiare des filtre les plus utilisés sans s'en rendre compte est le filtre sur IN constitué des parties A de IN contenant un intervalle de la forme [|n,+l'infii[|. C'est ce filtre qui servira pour définir les limites des suites ...
On appelle ensemble filtré un couple (E, F) avec E un ensemble et F un filtre sur E.
Si (E,T) est un espace topologique et x un point de E l'ensemble V_x des voisnages de x est un filtre appélé le filtre des voisnages de x.
Si (X,F) est un ensemble filitré et (E,T) un espace topologique soit f: X-> E une application. et x un point de E. On dit que x est une limite de f suivant le filtre F si pour tout voisinage V de x, l existe un A de F tel que f(A) C V.
Exemple: Prenons IN filtré par les parties contenant un intervalle de la forme [N,+l infini[ alors une application de IN vers un espace topologique et une suite: En appliquant la définition, on retrouve celle des suites convergentes ....
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