Taylor, Lagrange et les deux variables

D'accord, Rakam, il manquait bien quelque chose. Donc, pour pouvoir écrire $R$ avec $f(a+\theta{h} , b+\theta{k})$, il faudrait partir de l'hypothèse plus précise "sur un voisinage $U$ convexe".

Eh bien, j'ai quand même fouillé dans pas mal de docs, mais sans trouver cette précision (à moins que j'ai mal lu...) !

La vérification de la formule Taylor-Lagrange étant faite, je passe à la 2° interrogation qui me chiffonne.

Dans les docs consultés pour travailler sur la question des extrémums, les auteurs passent allègrement de la formulation de Taylor-Lagrange à celle de Taylor-Young, sans justification.

Par exemple sur le site Chronomath, : ICI , on peut lire :

"Selon la formule de Taylor, on peut écrire au voisinage d'un point (a,b)" :
… suit la belle formule avec reste de Lagrange
"En cas de point critique, au voisinage de (a,b), on pourra écrire" :
… suit une formule avec un reste de Young : $\varepsilon(h^2,k^2)$

Moi, je me souviens, dans le cas d’1 variable $f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}$, d’avoir démontré Taylor-Young à partir de Taylor-Lagrange :
On suppose que $f$ est $C^n$, donc elle est $C^{n-1}$, donc on applique Taylor-Lagrange à l’ordre $n-1$, et on travaille le reste pour montrer qu’il peut s’écrire $(x-a)^n\varepsilon(x)$

Bref, pour deux variables, je n’ai toujours pas trouvé de démonstration équivalente, et je ne sais pas comment je pourrais procéder…

Connaissez-vous un auteur qui aurait précisé pourquoi et comment, après avoir explicité la formulation Taylor-Lagrange, il passe à la formulation Taylor-Young ?

Oui, j'ai bien repéré cette possibilité de majoration, mais justement, quelque chose m'échappe : qu'est-ce qui me prouve que je peux majorer ? Pourquoi les dérivées partielles d'ordre $n+1$ seraient-elles bornées ?

"En restant sur un compact tu peux les majorer." Bien sûr, sur un compact.

Pour moi, quand on traite de Taylor-Lagrange, on se place sur un ouvert ; dans ce que j'ai écrit, c'est $U$ ; donc, une fois établie la formule du reste, il faudrait rajouter explicitement au raisonnement une formulation permettant de pouvoir travailler sur $R$... Par exemple :

"Le reste étant défini au voisinage de $(a,b)\in{U}$, avec $U$ ouvert, on peut toujours trouver une boule fermée centrée sur $(a,b)$ et incluse dans $U$ ; sur cette boule fermée, donc compacte, les dérivées partielles d'ordre $n+1$ étant continues, elles sont majorées."

Est-ce que tu dirais cela en ces termes ?

PS : OK pour "étoilé"

Mouais..., ce n'est pas que je cherche à tout prix des complications ; c'est que je ne trouve pas de cours qui ne se contente pas de balancer des formules.
Ce que je sais, c'est qu'en supposant simplement $f$ de classe $C^n$ et en partant de Taylor-Lagrange à l'ordre $n-1$, on peut travailler sur le reste et montrer qu'il se décompose en une partie qui s'intègre au développement de Taylor de $f$ (d'où une écriture à l'ordre $n$) et une partie qui constitue un nouveau reste sous la forme de Young.
Je reconnais que c'est laborieux...

Rakam a écrit:

La formule de Taylor-Young se démontre sans grande difficulté

Pour une fonction de 2 variables, je n'ai pas encore trouvé de document qui détaille ça explicitement et qui fait bien comprendre pourquoi on aboutit à un reste de la forme $\left(\sqrt{h^2+k^2}\right)^n\varepsilon(h,k)$. Comme je ne suis pas de cours dans une structure officielle, je cherche tout seul.

Je te remercie ; je dois voir ça en détail...