Taylor, Lagrange et les deux variables
Bonjour
Ce pourrait être une fable, mais ce n’est qu’une interrogation…
Ôtez-moi d’un doute, SVP ; est-ce bien vrai, ce que j’écris ci-dessous (sauf erreur de copie) ?
Soit $f :\mathbb{R^2}\to\mathbb{R}$, de classe $C^{n+1}$ sur un voisinage $U$ d’un point $(a,b)$.
Soit $(x=a+h,\,y=b+k) \in{U}$
Le développement de Taylor de $f$ en $(a,b)$ avec reste de Lagrange s’écrit : $$
f(a+h,b+k)=f(a,b)+ \sum_{p=1}^{p=n}\left(\frac{1}{p!}\left(h\frac{\partial}{\partial{x}}+k\frac{\partial}{\partial{y}}\right)^p f(a,b)\right)\quad+R,
$$ où $\left(h\frac{\partial}{\partial{x}}+k\frac{\partial}{\partial{y}}\right)^p$ est une écriture condensée pour l’expression des dérivées partielles : $$
\left(h\frac{\partial}{\partial{x}}+k\frac{\partial}{\partial{y}}\right)^p f(a,b)= \sum\limits_{i=0}^{i=n}\left(\begin{array}{c}p\\i\end{array}\right) h^{p-i}k^{i}\frac{\partial^p{f}}{\partial{x^{p-i}}\partial{y^{i}}}(a,b)
$$ et $R$ s’écrit : $$
R=\frac{1}{(n+1)!} \left(h\frac{\partial}{\partial{x}}+k\frac{\partial}{\partial{y}}\right)^{n+1} f(a+\theta{h},b+\theta{k}), \quad \theta\in\,]0,1[
$$ Il ne manque rien ???
Ce pourrait être une fable, mais ce n’est qu’une interrogation…
Ôtez-moi d’un doute, SVP ; est-ce bien vrai, ce que j’écris ci-dessous (sauf erreur de copie) ?
Soit $f :\mathbb{R^2}\to\mathbb{R}$, de classe $C^{n+1}$ sur un voisinage $U$ d’un point $(a,b)$.
Soit $(x=a+h,\,y=b+k) \in{U}$
Le développement de Taylor de $f$ en $(a,b)$ avec reste de Lagrange s’écrit : $$
f(a+h,b+k)=f(a,b)+ \sum_{p=1}^{p=n}\left(\frac{1}{p!}\left(h\frac{\partial}{\partial{x}}+k\frac{\partial}{\partial{y}}\right)^p f(a,b)\right)\quad+R,
$$ où $\left(h\frac{\partial}{\partial{x}}+k\frac{\partial}{\partial{y}}\right)^p$ est une écriture condensée pour l’expression des dérivées partielles : $$
\left(h\frac{\partial}{\partial{x}}+k\frac{\partial}{\partial{y}}\right)^p f(a,b)= \sum\limits_{i=0}^{i=n}\left(\begin{array}{c}p\\i\end{array}\right) h^{p-i}k^{i}\frac{\partial^p{f}}{\partial{x^{p-i}}\partial{y^{i}}}(a,b)
$$ et $R$ s’écrit : $$
R=\frac{1}{(n+1)!} \left(h\frac{\partial}{\partial{x}}+k\frac{\partial}{\partial{y}}\right)^{n+1} f(a+\theta{h},b+\theta{k}), \quad \theta\in\,]0,1[
$$ Il ne manque rien ???
Réponses
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Bonjour !
Si la fonction est à valeurs réelles il y a bien une formule avec reste de Lagrange.
Pour $f$ de classe $C^{n+1}$ sur un ouvert contenant le segment $[a,a+u]$, il suffit d'appliquer la formule de Taylor-Lagrange à $t\mapsto f(a+tu)$.
Ce qui manque à la relation proposée c'est la certitude $\forall t\in[0,1],\;(a+th,b+tk)\in U$.
Pour la formule de Taylor-Young cette restriction ne joue pas puisque la formule est locale et on peut choisir une boule (convexe) contenue dans $U$. -
D'accord, Rakam, il manquait bien quelque chose. Donc, pour pouvoir écrire $R$ avec $f(a+\theta{h} , b+\theta{k})$, il faudrait partir de l'hypothèse plus précise "sur un voisinage $U$ convexe".
Eh bien, j'ai quand même fouillé dans pas mal de docs, mais sans trouver cette précision (à moins que j'ai mal lu...) !
La vérification de la formule Taylor-Lagrange étant faite, je passe à la 2° interrogation qui me chiffonne.
Dans les docs consultés pour travailler sur la question des extrémums, les auteurs passent allègrement de la formulation de Taylor-Lagrange à celle de Taylor-Young, sans justification.
Par exemple sur le site Chronomath, : ICI , on peut lire :
"Selon la formule de Taylor, on peut écrire au voisinage d'un point (a,b)" :
… suit la belle formule avec reste de Lagrange
"En cas de point critique, au voisinage de (a,b), on pourra écrire" :
… suit une formule avec un reste de Young : $\varepsilon(h^2,k^2)$
Moi, je me souviens, dans le cas d’1 variable $f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}$, d’avoir démontré Taylor-Young à partir de Taylor-Lagrange :
On suppose que $f$ est $C^n$, donc elle est $C^{n-1}$, donc on applique Taylor-Lagrange à l’ordre $n-1$, et on travaille le reste pour montrer qu’il peut s’écrire $(x-a)^n\varepsilon(x)$
Bref, pour deux variables, je n’ai toujours pas trouvé de démonstration équivalente, et je ne sais pas comment je pourrais procéder…
Connaissez-vous un auteur qui aurait précisé pourquoi et comment, après avoir explicité la formulation Taylor-Lagrange, il passe à la formulation Taylor-Young ? -
Dans ton reste $R$ tu as $\frac{1}{(n+1)!} \left(h\frac{\partial}{\partial{x}}+k\frac{\partial}{\partial{y}}\right)^{n+1} f(a+\theta{h},b+\theta{k})$
En majorant les dérivées partielles par $M$ tu obtiens des termes de la forme $h^pk^{n+1-p}$ qui se majorent par $\lVert(h,k)\rVert^{n+1}$.
Tu obtiens bien une fonction de limite nulle à multiplier par $\lVert(h,k)\rVert^{n}$.
Pour ma part, je trouve plus simple de démontrer directement la formule de Taylor-Young, indépendamment de celle avec reste de Lagrange. -
Oui, j'ai bien repéré cette possibilité de majoration, mais justement, quelque chose m'échappe : qu'est-ce qui me prouve que je peux majorer ? Pourquoi les dérivées partielles d'ordre $n+1$ seraient-elles bornées ?
-
Tu as choisi de prendre des dérivées d'ordre $n+1$ continues. En restant sur un compact tu peux les majorer.
PS. Ton énoncé avec $U$ convexe est suffisant mais peut-être restrictif. Un ouvert étoilé par rapport à $(a,b)$ me semble plus raisonnable. -
"En restant sur un compact tu peux les majorer." Bien sûr, sur un compact.
Pour moi, quand on traite de Taylor-Lagrange, on se place sur un ouvert ; dans ce que j'ai écrit, c'est $U$ ; donc, une fois établie la formule du reste, il faudrait rajouter explicitement au raisonnement une formulation permettant de pouvoir travailler sur $R$... Par exemple :
"Le reste étant défini au voisinage de $(a,b)\in{U}$, avec $U$ ouvert, on peut toujours trouver une boule fermée centrée sur $(a,b)$ et incluse dans $U$ ; sur cette boule fermée, donc compacte, les dérivées partielles d'ordre $n+1$ étant continues, elles sont majorées."
Est-ce que tu dirais cela en ces termes ?
PS : OK pour "étoilé" -
Ben oui : la formule de Taylor-Young n'est que "locale", le choix de rester dans une boule fermée de rayon strictement positif est raisonnable.
Ceci dit je pense que tu cherches des complications !
1. Sans être fana des "hypothèses minimales" je te signale que Taylor-Lagrange s'obtient avec l'existence des dérivées d'ordre $n+1$ (même pas aux extrémités du segment), la continuité est inutile.
2. La formule de Taylor-Young se démontre sans grande difficulté en supposant seulement l'existence des dérivées d'ordre $n$ au point considéré ($(a,b)$ dans ton cas).
Vouloir en faire un corollaire du théorème de Taylor-Lagrange t'oblige à introduire des hypothèses superflues (dans ton cas l'existence et la continuité des dérivées d'ordre $n+1$ sur un voisinage).
Peut-on obtenir Taylor-Young en ne prenant que les hypothèses "normales" de Taylor-Lagrange ? Je ne sais pas et, comme déjà dit, je préfère faire une démonstration directe sans référence à ce théorème. -
Mouais..., ce n'est pas que je cherche à tout prix des complications ; c'est que je ne trouve pas de cours qui ne se contente pas de balancer des formules.
Ce que je sais, c'est qu'en supposant simplement $f$ de classe $C^n$ et en partant de Taylor-Lagrange à l'ordre $n-1$, on peut travailler sur le reste et montrer qu'il se décompose en une partie qui s'intègre au développement de Taylor de $f$ (d'où une écriture à l'ordre $n$) et une partie qui constitue un nouveau reste sous la forme de Young.
Je reconnais que c'est laborieux...Rakam a écrit:La formule de Taylor-Young se démontre sans grande difficulté -
Ce qui suit te suffira peut-être.
Soit $f$ définie sur un ouvert $U$ de $\R^n$, $a\in U$ et $f$ de classe $C^p$ sur un voisinage de $a$.
Soit $\delta\in\R_+^*$ tel que $B(a,\delta)\subset U$ et $x=(x_1,\dots,x_n)$ un vecteur normé.
La fonction $\varphi : t\mapsto f(a+tx)$ est de classe $C^p$ sur $]-\delta,\delta[$ et $\displaystyle\varphi^{(k)}(t)=\Bigl(\sum_{1\leqslant i\leqslant n}x_i\dfrac{\partial f}{\partial x_i}\Bigr)^{(k)}_{a+tx}$.
On sait (théorème de Taylor-Young pour une fonction d'une variable réelle) que $$\lim_{t\to0}t^{-p}\Bigl(\varphi(t)-\sum_{0\leqslant k\leqslant p}\dfrac{t^k}{k!}\varphi^{(k)}(0)\Bigr)=0$$.
En prenant $u=tx$ on a $\lVert u\rVert=|t|$ et le produit de $t^k$ par une expression $k-$homogène $x_1^{i_1}\dots x_n^{i_n}$ n'est autre que $u_1^{i_1}\dots u_n^{i_n}$ d'où le résultat :
$$\lim_{u\to0}\lVert u\rVert^{-p}\left(f(a+u)-f(a)-\sum_{0\leqslant k\leqslant p}\dfrac1{k!}\Bigl(\sum_{1\leqslant i\leqslant n}u_i\dfrac{\partial f}{\partial x_i}\Bigr)^{(k)}_a\right)=0$$ -
Je te remercie ; je dois voir ça en détail...
-
Bonjour Rakam,
Ca m'a l'air bien brillant ; pas de compact, pas de majoration... Une démonstration jamais vue et dont la rapidité des deux dernières lignes est encore un peu raide pour moi :-S
C'est de toi, ou ça provient d'un cours consultable ?
PS A tout hasard, puis-je t'envoyer par mp une démonstration (lourdingue) que je me suis faite à partir de Taylor-Lagrange ? Juste pour voir si tu n'y trouves pas d'horreurs ? J'ai la flemme de tout retaper en Latex... -
Euh !
Il faut quand même utiliser le théorème de Taylor-Young pour les fonctions d'une variable réelle !
Pour les deux dernières lignes tu peux te contenter de voir ce qui se passe pour $n=2$.
Pour voir ta démo, je veux bien mais ne sois pas pressé.
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Bonjour!
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