Continuité dans $W^{1,p}$
dans Analyse
Bonjour
Pouvez-vous m'aider à démontrer que la fonction $G'$ définie par $$<G'(u), v>\, =\int_{\Omega} f(x)\vert u\vert^{q-2}uv\ d{x} ,\quad \ \forall u, v \in W^{1,p}_{0}(\Omega)$$ est continue sur $W^{1,p}(\Omega)$ avec $1<p<N$ et $p<q<p*$ et $f\in L^{\infty}(\Omega), \Omega$ ouvert borné à frontière régulière
En effet; On a \begin{align*}
\vert <G^{'}(u),v>\vert &= \Big| \int_{\Omega} f(x)\vert u\vert^{q-2}uv\ d{x}\Big| \\
&\leq\Vert f\Vert_{\infty}\int_{\Omega}\vert u\vert^{q-1}\vert v\vert\ d{x}\\
&\leq\Vert u\Vert^{q-1}_{L^{p}}\Vert v\Vert_{L^{p}}\\
&\leq c\Vert u\Vert^{q-1}_{W^{1,p}}\Vert v\Vert_{W^{1,p}}<\infty
\end{align*} Ensuite ?
Merci
Pouvez-vous m'aider à démontrer que la fonction $G'$ définie par $$<G'(u), v>\, =\int_{\Omega} f(x)\vert u\vert^{q-2}uv\ d{x} ,\quad \ \forall u, v \in W^{1,p}_{0}(\Omega)$$ est continue sur $W^{1,p}(\Omega)$ avec $1<p<N$ et $p<q<p*$ et $f\in L^{\infty}(\Omega), \Omega$ ouvert borné à frontière régulière
En effet; On a \begin{align*}
\vert <G^{'}(u),v>\vert &= \Big| \int_{\Omega} f(x)\vert u\vert^{q-2}uv\ d{x}\Big| \\
&\leq\Vert f\Vert_{\infty}\int_{\Omega}\vert u\vert^{q-1}\vert v\vert\ d{x}\\
&\leq\Vert u\Vert^{q-1}_{L^{p}}\Vert v\Vert_{L^{p}}\\
&\leq c\Vert u\Vert^{q-1}_{W^{1,p}}\Vert v\Vert_{W^{1,p}}<\infty
\end{align*} Ensuite ?
Merci
Réponses
-
Bonjour
Il y a un souci d'exposant dans le passage de la 2ème ligne à la 3ème ligne.
Il faut bien écrire Hölder.
Étape 1) montrer que $G'(u)$ est bien défini (dans $W^{-1,p'}$)
Étape 2) montrer la continuité, regarder $G'(u_1)-G'(u_2)$ et montrer que la norme est petite dès que $u_1-u_2$ est petit en norme dans $W^{1,p}$ (ou encore la continuité séquentielle)
O.G. -
Pour le point 1: on a \begin{align*}
\vert <G^{'}(u),v>\vert &= \vert \int_{\Omega} f(x)\vert u\vert^{q-2}uv\ d{x}\vert\\
&\leq\Vert f\Vert_{\infty}\int_{\Omega}\vert u\vert^{q-1}\vert v\vert\ d{x}\\
&\leq\Vert f\Vert_{\infty}\left( \int_{\Omega}\vert u\vert^{p*}\ d{x}\right) ^{\frac{q-1}{p*}} \left( \int_{\Omega}\vert v\vert^{\frac{p*}{p*-(q-1)}}\ d{x}\right)^{\frac{p^{*}-(q-1)}{p*}}\\
&\leq c\Vert u\Vert^{q_{i}-1}_{W^{1,p}}\Vert v\Vert_{W^{1,p}}<\infty
\end{align*} Pour la deuxieme point : \begin{align*}
\vert<G^{'}(u)-G^{'}(v),w>\vert &= \vert \int_{\Omega} f(x)(\vert u\vert^{q-2}u-\vert v\vert^{q-2}v)w\ d{x}\vert\\
&\leq\Vert f\Vert_{\infty}\left(\int_{\Omega}\vert\vert u\vert^{q-2}u-\vert v\vert^{q-2}v\vert\vert^{(p^{*})'}\ d{x}\right)^{\frac{1}{(p^{*})'}}\left( \int_{\Omega}\vert w\vert^{p*}\ d{x}\right) ^{\frac{1}{p*}}
\end{align*} Donc par l'injection de Sobolev, on trouve \begin{align*}
\vert<G^{'}(u)-G^{'}(v),w>\vert &\leq C\Vert f\Vert_{\infty}\Vert w\Vert\left(\int_{\Omega}\vert\vert u\vert^{q-2}u-\vert v\vert^{q-2}v\vert\vert^{(p^{*})'}\ d{x}\right)^{\frac{1}{(p^{*})'}}
\end{align*} Mais apres je me bloque... -
Bonjour
Pour le point 1), cela me parait ok (en écrivant bien que l'exposant sur $v$ est inférieur à $p^*$.
Pour le point 2), il y a au moins deux façons de faire
- en distinguant bien les cas $q-2\geq 0$ et $1<q\leq 2$, on peut majorer
$ ||s|^{q-2}s-|t|^{q-2}t| $ par $C|s-t| (|s|^{q-2}+|t|^{q-2})$ (1er cas), par $C|s-t|^{q-1}$ (2nd cas). Ensuite à coups de Hölder, Sobolev et Cie on s'en sort
- continuité séquentielle, $u_n$ converge vers $u$ dans $W^{1,p}_0(\Omega)$. Avec l'argument classique (de toute sous suite, etc..) à une sous suitre près je suppose que $u_n$ converge p.p. vers $u$ et comme l'exposant $q$ va bien, $|u_n|^{q-2}u_n-|u|^{q-2}u$ est bornée dans le bon $L^{truc}$, etc.
O.G. -
Pouvez-vous me donner une référence de la majoration que vous avez donnée ci-dessus c-à-d dans le deux cas $q>2$ et $1<q<2.$ pour voir faire le calcul exacte. Merci @ O.G
-
Bonjour
Je n'ai pas de référence, c'est de l'analyse. Pour $q\geq 2$ c'est simple, écrire comme une intégrale, majorer, en fait la fonction $|r|^{q-2}r$ est dérivable, donc inégalité des accroissements finis. Pour $1<q<2$ c'est un peu plus délicat mais c'est du même acabit que montrer que $s^{1/2}-r^{1/2}\leq |s-r|^{1/2}$ (là où c'est défini).
Sinon solution 2.
O.G. -
Bizarre! dans le cas $q\geq 2$ je trouve l’inégalité dans l'autre sens
\begin{align*}
(|x|^{q-2}x-|y|^{q-2}y)(x-y)&=\frac{1}{2}(|x|^{q-2}+|y|^{q-2})|x-y|^2+\frac{1}{2}(|x|^{q-2}-|y|^{q-2})(|x|^2-|y|^2)\\
&\geq \frac 12(|x|^{q-2}+|y|^{q-2})|x-y|^2
\end{align*}
et donc $$||x|^{q-2}x-|y|^{q-2}y|\geq \frac 12(|x|^{q-2}+|y|^{q-2})|x-y|.$$Le 😄 Farceur -
Et en quoi est-ce bizarre ?
-
le bizarre est que je trouve l'autre sens facilement que le sens qu'on cherche :-D je vais voir ta méthode utilisant l'astuce intégraleLe 😄 Farceur
-
Le sens plus facile dépend de la personne !
Quand $q\geq 2$, si $r$ et $s$ sont de même signe, majorer $|r^{q-1}-s^{q-1}|$ par $C|r-s|\text{ quelque chose en $r$ et $s$}$ est assez naturel. Si $r$ et $s$ ne sont pas de même signe, rien à faire ou presque. -
Mea culpa
Je viens de constater que tes $t$ et $s$ sont dans $\R$. la preuve qu j'ai donné de l'autre inégalité est valable pour $x,y$ dans $\R^n$
je vais essayer de voir comment démonter le sens qu'on cherche pour $t,s$ dans $\R^n$Le 😄 Farceur -
Re
En fait tout marche aussi dans $\R^N$, c'est assez utilisé pour le $p$-laplacien ou autres opérateurs non linéaires. -
Merci O.G c'est très agréable de discuter avec toiLe 😄 Farceur
-
En fait je ne me suis jamais amusé à démontrer ces choses dans le cas $\R^N$...
Il y a des choses dans ces deux références (mais certainement ailleurs)
https://link.springer.com/article/10.1007/s002110050071
https://epubs.siam.org/doi/10.1137/S0036142999351613
Mais on s'éloigne de la problématique du départ, d'autant qu'avec la solution 2, ces inégalités sont totalement inutiles. -
Bonsoir
Je reviens vers vous pour terminer la démonstration. En prenant compte des inégalités.
Donc supposons on travaille dans où $q\geq 2.$ Alors \begin{align*}
\vert<G^{'}(u)-G^{'}(v),w>\vert &= \vert \int_{\Omega} f(x)(\vert u\vert^{q-2}u-\vert v\vert^{q-2}v)w\ d{x}\vert\\
&\leq\Vert f\Vert_{\infty}\int_{\Omega}\vert\vert u\vert^{q-2}u-\vert v\vert^{q-2}v\vert\vert\vert w\vert\ d{x}\\
&\leq \Vert f\Vert_{\infty}\int_{\Omega}\vert u-v\vert(\vert u \vert^{q-2}+\vert v\vert^{q-2})\vert w\vert \ d{x}\\
&\leq \eta \Vert f\Vert_{\infty}\int_{\Omega} \left( \vert u\vert^{q-2}+\vert v\vert^{q-2}\right)\vert w\vert \ d{x}\\
&\leq \eta \Vert f\Vert_{\infty}\left( \int_{\Omega} \vert u\vert^{q-2}\vert w\vert\ d{x}+\int_{\Omega}\vert v\vert^{q-2} \vert w\vert \ d{x}\right)
\end{align*}
Donc par Hölder, on trouve
\begin{align*}
\vert<G^{'}(u)-G^{'}(v),w>\vert &\leq \eta\Vert f\Vert_{\infty}\left(\int_{\Omega}\vert w\vert^{\frac{p*}{p*-q+2}}\ d{x} \right)^{1-\frac{q-2}{p*}} \left[ \left(\int_{\Omega}\vert u\vert^{p*}\ d{x}\right)^{\frac{q-2}{p*}}+ \left(\int_{\Omega}\vert v\vert^{p*}\ d{x}\right)^{\frac{q-2}{p*}} \right]
\end{align*}
Est-ce que c'est bon ? Merci -
Bonjour
Dur dur de reprendre ce matin tous ces exposants
Non ce n'est pas bon. Il y a un $|u-v|$ qui disparaît au profit d'un $\eta$, cela voudrait dire que tu supposes $|u-v|\leq \eta$ ? Ce n'est pas possible, il te faut la continuité en norme $W^{1,p}$, donc à la fin tu dois avoir, $\|u-v\|$, $\|u\$, $\|v\$, $\|w\$ (dans les bons espaces).
Il faut faire Hölder (à trois) sur le terme de la 3ème ligne.
Il ne faut pas non plus oublier que dans la majoration (type exercice d'analyse) il y a éventuellement une constante.
O.G. -
Bonjour,
Effectivement c'est au niveau de la ligne 3 que je n arrive pas à appliqué l'inégalité de Hölder pour le trois terme mais
Sinon on peut encore simplifier
toujours dans le cas ou $q\geq 2.$
$\vert u-v\vert(\vert u\vert^{q-2}+\vert v\vert^{q-2})\vert w\vert \leq (\vert u\vert+\vert v\vert)(\vert u\vert^{q-2}+\vert v\vert^{q-2})\vert w\vert\leq (\vert u\vert^{q-2}+\vert v\vert^{q-2})(\vert u\vert^{q-2}+\vert v\vert^{q-2})\vert w\vert\leq (\vert u\vert^{q-2}+\vert v\vert^{q-2})^{2}\vert w\vert.$
En suite en intergrons sur $\Omega$ on obtient
\begin{align*}
\vert<G^{'}(u)-G^{'}(v),w>\vert &\leq c \Vert f\Vert_{\infty}\int_{\Omega} \left( \vert u\vert^{q-2}+\vert v\vert^{q-2}\right)^{2}\vert w\vert \ d{x}\\
&\leq c \Vert f\Vert_{\infty}\left(\int_{\Omega} ( \vert u\vert^{q-2}+\vert v\vert^{q-2})^{p*}\right)^{\frac{2}{p*}}\left( \int_{\Omega}\vert w\vert^{\frac{p*}{p*-2}} \ d{x}\right)^{\frac{p*-2}{p*}}\\
\end{align*} avec $\frac{p*}{p*-2} < p*$ -
Il faut impérativement avoir $|u-v|$, sinon pas de continuité, le but est de montrer
que si $u$ tend vers $v$ alors $G'(u)$ tend vers $G'(v)$, il faut donc contrôler
la norme de $G'(u)-G'(v)$ par du $|u-v|$.
Hölder sur $|u-v| (|u|^{q-2}+|v|^{q-2}) |w|$ avec les exposants
$p^*$, $p^*/(p^*-2)$, $p^*$.
Question: peut-être cela m'a échappé, mais l'inégalité est stricte : $q<p^*$,
or pour la continuité je ne vois pas d'obstacle à faire $q=p^*$ ($p<N$).
Y-a-t-il une suite à cet exercice ?
Et j'insiste : quid de la solution 2 ?
O.G. -
Je reprend le calcul alors,
En intégrant sur $\Omega$ on obtient
\begin{align*}
\vert<G^{'}(u)-G^{'}(v),w>\vert &\leq c \Vert f\Vert_{\infty}\int_{\Omega} \vert u-v\vert( \vert u\vert^{q-2}+\vert v\vert^{q-2})\vert w\vert \ d{x}\\
& \leq c \Vert f\Vert_{\infty}\left( \int_{\Omega}\vert u-v\vert^{p*}\ d{x}\right)^{\frac{1}{p*}}\left( \int_{\Omega}\vert w\vert^{p*} \ d{x}\right)^{\frac{1}{p*}}\left( \int_{\Omega}(\vert u\vert^{q-2}+\vert v\vert^{q-2})^{\frac{p*}{p*-2}}\ d{x}\right)^{\frac{p*-2}{p*}}
\end{align*} et comme $W^{1,p}(\Omega)$ s'injecte dans $L^{q}(\Omega)$ (avec $p<N$ et $q<p*$)
donc \begin{align*}
\vert<G^{'}(u)-G^{'}(v),w>\vert &\leq c \Vert f\Vert_{\infty}\Vert w\Vert\Vert u-v\Vert
\end{align*}
mais pour le troisième intégrale comment faire ! -
Il te manque peut etre l'astuce $|a+b|^{p} \leq 2^p \{ |a|^{p} +|b|^{p} \}$ pour conclure $\int_{\Omega}(\vert u\vert^{q-2}+\vert v\vert^{q-2})^{\frac{p*}{p*-2}}\leq C( \int_{\Omega}\vert u\vert^{\alpha}+\int_{\Omega}\vert v\vert^{\alpha} )$ avec $\alpha =\frac{p*(q-2)}{p*-2}<p^* $ (puisque q<$p^*$)Le 😄 Farceur
-
Donc si je résume,
Pour $q\geq 2$ on a
\begin{align*}
\vert<G^{'}(u)-G^{'}(v),w>\vert &\leq C\left( \int_{\Omega}\vert u-v\vert^{p*}\ d{x}\right)^{\frac{1}{p*}}\left( \int_{\Omega}\vert w\vert^{p*} \ d{x}\right)^{\frac{1}{p*}}\left( \int_{\Omega}(\vert u\vert^{q-2}+\vert v\vert^{q-2})^{\frac{p*}{p*-2}}\ d{x}\right)^{\frac{p*-2}{p*}}\\
&\leq \Vert u-v\Vert\Vert w\Vert\left[ \left( \int_{\Omega}\vert u\vert^{\frac{p*(q-2)}{p*-2}}\ d{x}\right)^{\frac{p*-2}{p*}} +\left( \int_{\Omega}\vert v\vert^{\frac{p*(q-2)}{p*-2}}\ d{x}\right)^{\frac{p*-2}{p*}}\right]\\
&\leq C \Vert u-v\Vert\Vert w\Vert \Vert u\Vert^{q-2}\Vert v\Vert^{q-2}
\end{align*}
Notons que $\frac{p*(q-2)}{p*}<p*$ car $q<p*.$ (injec de Sobolev)
Et pour $1<q\leq 2$
\begin{align*}
\vert<G^{'}(u)-G^{'}(v),w>\vert &\leq C\left( \int_{\Omega}\vert u-v\vert^{p*}\ d{x}\right)^{\frac{q-1}{p*}}\left( \int_{\Omega}\vert w\vert^{\frac{p*}{p*-q+1}} \ d{x}\right)^{\frac{p*-q+1}{p*}}\\
&\leq C \Vert u-v\Vert^{q-1}\Vert w\Vert
\end{align*}
Notons que $\frac{p*}{p*-q+1}<p*$ car $1<q<2.$
Et par conséquent on a la continuité sur $W^{1,p}(\Omega).$
Merci pour vos suggestions... -
Sggestions
Remplace l’écriture G' tout simplement par G
Dire des le début que les constantes C peuvent être différentes
Il manque une constante à la deuxième ligne
A la troisième ligne une somme devient un produit !?
(Je n'ai pas regardé la suite edit je viens de voir c'est juste mais $\frac{p*}{p*-q+1}<p*$ c'est parce que $q<p^*$ )
Applique maintenant la méthode séquentielleLe 😄 Farceur -
Pourquoi la méthode séquentielle ? la première méthode suffit normalement pour montrer la continuité.
Sinon
Deuxième méthode :
il faut montrer que $\int_{\Omega}\left( \vert u_{n}\vert^{p-2}u_{n}-\vert u\vert^{p-2} u\right) v \ d{x}$ tend vers $0,$ en effet :
Soit $(u_{n})$ une suite dans $W^{1,p}(\Omega)$ et $1 < p <\infty$, l'espace $W^{1,p}(\Omega)$ est r\'eflexif et l'injection de $W^{1,p}(\Omega)\hookrightarrow L^{q}(\Omega)$ car $ q \leq p^{*}$ est compacte ce qui implique qu'il existe une sous suite not\'ee $(u_{n})$ telle que :
1- $u_{n}\rightharpoonup u$ faiblement dans $W^{1,p}(\Omega),$
2-$u_{n}\longrightarrow u$ fortement dans $L^{q}(\Omega),$ pour tout $q<p^{*}$
3- $u_{n}\longrightarrow u$ presque partout dans $\Omega$.
Est ce que le début est bon déja ? -
Je suis surpris par ta réaction, on apprend les mathématiques en traitant la même question de plusieurs façons
Inutile de parler de la convergence faible dans W^1,p . Ta suite $u_n$ converge fortement dans W^1,p ( de même que ces suites extraites) par hypothèse
edit dans ton 2- pour quoi tu écartes le cas $q=p^*$Le 😄 Farceur -
La condition $q<p^*$ semble être dans l'énoncé même.
Comme Gebrane, je pense que ça marche jusqu'à $q=p^*$ et je pense que la condition $p<p^*$
est nécessaire pour avoir la compacité de l'application (faire un point fixe, passer à la limite dans un pb approché).
Sur les deux solutions, c'est tout de même la solution 2 la plus "facile" qui ne demande pas d'inégalités délicates à démontrer. On peut se contenter de majoration "à la louche". -
Les injections continues de Sobolev $W^{1,p}(\Omega)\hookrightarrow L^{r}(\Omega)$ ( $\Omega régulier $) sont valables pour $1<p<N$ et $p\leq r\leq p^*$
Dans ta rédaction, il vaut mieux que tu fasses distinction entre le $r$ des injections Sobolev et ton $q$ dans la définition de ton GLe 😄 Farceur -
Donc soit $u_{n}$ une suite de $W^{1,p}$ qui converge vers $u$ dans $W^{1,p}(\Omega).$
\begin{align*}
\vert<G^{'}(u_{n})-G^{'}(u),v>\vert &= \vert \int_{\Omega} f(x)(\vert u_{n}\vert^{q-2}u_{n}-\vert u\vert^{q-2}u)v\ d{x}\vert\\
&\leq\Vert f\Vert_{\infty}\left(\int_{\Omega}\vert\vert u_{n}\vert^{q-2}u_{n}-\vert u\vert^{q-2}u\vert\vert^{(p^{*})'}\ d{x}\right)^{\frac{1}{(p^{*})'}}\left( \int_{\Omega}\vert v\vert^{p*}\ d{x}\right) ^{\frac{1}{p*}}\\
&\leq c\Vert f\Vert_{\infty}\Vert v\Vert\left(\int_{\Omega}\vert\vert u_{n}\vert^{q-2}u_{n}-\vert u\vert^{q-2}u\vert\vert^{(p^{*})'}\ d{x}\right)^{\frac{1}{(p^{*})'}}
\end{align*}
Or $u_n$ tend vers $u$ dans $W^{1,p}$ donc $(\chi_{\Omega}u_{n})$ converge fort vers $(\chi_{\Omega}u)$ dans $L^{(p-1)(p*)'}$ puisque $(p-1)(p*)'<p*.$ Apres on applique encore Hölder peut etre avec les exposant $r,s$ ? -
La méthode 2 de OG consiste à appliquer le théorème de convergence dominé. Tu as une convergence pp vers 0, il te suffit une dominationLe 😄 Farceur
-
$(u_{n})$ une suite qui converge dans $W^{1,p}(\Omega)$ donc de Cauchy on peut extraire une sous suite noté encore $u_{n}$ qui satisfait $\Vert u_{n+1}-u_{n}\Vert\leq \epsilon$
Reste à montre que $u_{n}(x)\rightarrow u$ p.p sur $\Omega$ et $\vert u_{n}\vert\leq h(x)$ pour tout $n$ et p.p dans $\Omega$ avec $h\in L^{truc}$ -
Tu veux démontrer que $\int_{\Omega}\left( \vert u_{n}\vert^{p-2}u_{n}-\vert u\vert^{p-2} u\right) v \ d{x}$ tend vers 0 si $u_n$ tend vers u dans W^1,p
Quitte à extraire une sous suite tu as $u_n$ qui cv pp vers u, donc $f_n(x):= \vert u_{n}(x)\vert^{p-2}u_{n}(x)-\vert u(x)\vert^{p-2} u(x)$ cv pp x vers 0 . Il te reste a prouver que $|f_n(x)|\leq h(x)$ ppx avec $h\in L^{Truc}$Le 😄 Farceur
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