Suite de fonctions - formule de Stirling

Bonjour à tous,

Je planche actuellement sur l'exercice suivant:

1. Déterminer la limite simple des fonctions $f_n (x)=\dfrac{x^ne^{-x}}{n!}$ sur $\mathbb{R}^+$ et montrer qu'il y a convergence uniforme.
2. Calculer $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \int_{0}^{+\infty}f_n(x)dx$. Quel commentaire cela vous inspire t'il?

Je n'ai malheureusement pas trouver la correction de cet exercice et je ne sais pas si mon travail est juste (voir paragraphe ci-dessous).
De plus je comprend pas vraiment la dernière question: "Quel commentaire cela vous inspire t'il?" Pourriez-vous m'aider sur ce point?
Merci de votre aide.

1. Soit $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ la suite de fonctions définies sur $\mathbb{R^+}$ par $f_n (x)=\dfrac{x^ne^{-x}}{n!}$. Soit $x\in \mathbb{R}^+$, on a alors pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{x}{n+1} \xrightarrow[n \xrightarrow {}+\infty]{}0$.
Par conséquent, la suite de fonctions $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ converge simplement sur $\mathbb{R^+}$ vers la fonction nulle .
En étudiant les variations de la suite de fonctions sur $\mathbb{R^+}$, on voit que: $f'_n(x)=\dfrac{x^{n-1}e^{-x}(n-x)}{n!}$
Ainsi, $\underset{x \in R^+}{\sup} |f_n(x)-f(x)| \leq f_n(n) = \dfrac{n^ne^{-n}}{n!}\underset{n \xrightarrow {}+\infty}{\sim} \dfrac{n^ne^{-n}}{n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n}} \xrightarrow[n \xrightarrow {}+\infty]{}0$
Ainsi la suite de fonctions converge uniformément sur $\mathbb{R^+}$.
2. Par conséquent, $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \int_{0}^{+\infty}f_n(x)dx=\int_{0}^{+\infty} 0 dx=0$