Je voudrais savoir la signification qualitative d'un point fixe $x^*$ qui vérifie $f(x^*)=0$ (le point fixe qu'est-ce qui nous donne de plus dans notre étude qualitative ?).
Je ne comprends pas la phrase de Gabu comme si un point fixe est toujours un attracteur. Gabu ne se trompe que rarement, j'ai dû comprendre de travers surement
Un point fixe p est attracteur et c'est un puits, si tous les points suffisamment proches de p sont attirés vers p. Il est stable.
Il est répulsif et c'est une source, si tous les points suffisamment proches de p sont repoussés par p. Il est instable
J'ai posé la question que pour comprendre . Pour ta phrase "quand on y est" , j' imaginais une bille qui passe sur un point fixe, je me demandais pourquoi il va y rester ? mais du coups je vois ce que tu voulais dire, on pose par exemple une bille sur un point fixe, elle ne va pas bouger
Pas très cohérent, ce que tu écris. Notons $x^*$ un point fixe ($f(x^*)=0$). Que veut dire "passer sur $x^*$" ? Pour moi ça veut dire qu'il existe $t_0$ tel que $x(t_0)=x^*$. Mezalor la fonction constante $x^*$ est solution de l'équation différentielle $\dot x=f(x)$ avec cette condition initiale.
Ça n'a rien à voir avec la question de la stabilité du point fixe, qui est un autre problème.
PS. J'ai l'impression que tu fais une confusion. Prenons l'exemple du pendule simple. Il n'est pas régi par une équation du premier ordre, mais par une équation du second ordre en $\theta$. On se ramène à un système du premier ordre en travaillant dans le plan de phase $(\theta, \dot\theta)$. Et dans ce plan de phase les points d'équilibre sont "pendule en haut, vitesse nulle" et "pendule en bas, vitesse nulle". Et on ne "passe" pas par ces points d'équilibre au sens où tu sembles l'entendre : si on y est à un moment, on y est tout le temps !
Si on considère une équation autonome $x^\prime(t)=f(x(t))$ où l'unicité s'applique (Cauchy-Lipschitz) on ne peut pas avoir une trajectoire qui passe par un point d'équilibre $x^*$, puisque la fonction constante $t \mapsto x^*$ est solution.
@Gabu j'avais bien insisté sur j'ai dû comprendre de travers surement
Traduisons ta phrase mathématiquement "que je trouves savante , j'aime bien '"
soit l’équation $\dot x=f(x)$ et $x^*$ un point d'équilibre
quand on y signifie il existe $t_0$ tel que $x(t_0)=x^*$
on y reste ! signifie $t\to x^*$ est une ( et la seule) solution $\dot x=f(x)$ avec la condition initiale $x(t_0)=x^*$
il me semble que tu supposes l'unicité d'office pour le point 2
Oui je l'ai ajouté entre parenthèses croyant que" on y reste !" suggère qu'on n'a pas d'autres choix donc unicité d'une solution vérifiant $x(t_0)=x^*$
Merci pour tes éclaircissements (le français soutenu n'est pas simple à déchiffrer par un amateur )
Bonne fin de journée.
Réponses
Ça n'a rien à voir avec la question de la stabilité du point fixe, qui est un autre problème.
PS. J'ai l'impression que tu fais une confusion. Prenons l'exemple du pendule simple. Il n'est pas régi par une équation du premier ordre, mais par une équation du second ordre en $\theta$. On se ramène à un système du premier ordre en travaillant dans le plan de phase $(\theta, \dot\theta)$. Et dans ce plan de phase les points d'équilibre sont "pendule en haut, vitesse nulle" et "pendule en bas, vitesse nulle". Et on ne "passe" pas par ces points d'équilibre au sens où tu sembles l'entendre : si on y est à un moment, on y est tout le temps !
Traduisons ta phrase mathématiquement "que je trouves savante , j'aime bien '"
soit l’équation $\dot x=f(x)$ et $x^*$ un point d'équilibre
quand on y signifie il existe $t_0$ tel que $x(t_0)=x^*$
on y reste ! signifie $t\to x^*$ est une ( et la seule) solution $\dot x=f(x)$ avec la condition initiale $x(t_0)=x^*$
il me semble que tu supposes l'unicité d'office pour le point 2
Merci pour tes éclaircissements (le français soutenu n'est pas simple à déchiffrer par un amateur )
Bonne fin de journée.