Rayon spectral et normes d'algèbre

VPierre · June 2018

Bonjour à tous;

On sait que pour une matrice à coefficient dans $\mathbb{C}$, son rayon spectral est $\inf\|A\|$, $\inf$ pris sur toutes les normes d'algèbre (en fait subordonnées suffit).

Est-ce toujours le cas dans une algèbre de Banach quelconque ?
Du théorème du rayon spectral, on a au moins $r(A)\leq \inf\|A\|$.

Merci pour vos lectures/réponses.

gebrane · June 2018

Tu veux remplacer $M_n(\C)$ par une algèbre de Banach ? Soit ${\displaystyle A}$ un endomorphisme sur une algèbre de Banach , on peut demontrer Pour tout $\epsilon >0$ , il existe une norme $|||.|||$ telle que $|||A||| \leq \rho(A) + \epsilon$ 77346

VPierre · June 2018

Merci gebrane.

Et dans le cas où mon algèbre de Banach n'est pas une algèbre d'endomorphismes, a-t-on le résultat pour un élément de cet algèbre ?

gebrane · June 2018

Peux-tu être un peu plus précis ?

VPierre · June 2018

Si on note $X$ une algèbre de Banach, qui n'est pas nécessairement une $\C^*$-algèbre (on sait que si c'est une $\C^*$-algèbre alors $X$ s'identifie à une sous-algèbre fermée de $\mathscr{L}(H)$ pour un certain Hilbert $H$ et dans ce cas votre raisonnement s'applique).

Est-ce qu'on a toujours pour $A\in X$, $\rho(A)=\inf_{\|\cdot\|}\|A\|$ ?

gebrane · June 2018

D’après le Théorème (Beurling) page 8 https://www.irif.fr/~seiller/documents/seances/rep.pdf la formule du rayon spectrale reste vraie. Regarde les détails de la démonstration que je t'ai indiquée.

Rayon spectral et normes d'algèbre

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 4