Quelques ordres moyens
Bonsoir,
je travaille en ce moment sur le developpement suivant:
https://agreg-maths.fr/uploads/versions/854/Qq_ordres_moyens.pdf
il est mentionné un grand O "uniforme en x", à votre avis, qu'est-ce que cela signifie précisément?
pourquoi a-t-on bien des grand O "uniforme" ici?
Merci d'avance pour vos réponses
je travaille en ce moment sur le developpement suivant:
https://agreg-maths.fr/uploads/versions/854/Qq_ordres_moyens.pdf
il est mentionné un grand O "uniforme en x", à votre avis, qu'est-ce que cela signifie précisément?
pourquoi a-t-on bien des grand O "uniforme" ici?
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Réponses
À noter que ces ordres moyens indiqués ici ne sont pas les meilleurs. Avec un résultat dû à Walfisz (1963, posthume), on a
$$\sum_{n \leqslant x} \varphi(n) = \frac{x^2}{2\zeta(2)} + O \left ( x (\log x)^{2/3} (\log \log x)^{4/3} \right)$$
et
$$\sum_{n \leqslant x} \sigma(n) = \frac{x^2 \zeta(2)}{2} + O \left ( x (\log x)^{2/3} \right)$$
mais il est hors de question de présenter la démonstration de ces résultats à l'agrégation, bien sûr. En revanche, rien n'interdit de les citer en remarque lors d'un plan, en indiquant par exemple que la preuve nécessite, entre autres, la meilleure région sans zéro pour la fonction $\zeta$ actuellement connue.
Une anecdote avant de manger : En 1960, le russe Saltykov avait proposé une démonstration qui permettait de remplacer l'exposant $4/3$ par $1+\varepsilon$ dans le terme d'erreur ci-dessus. Malheureusement, Saltykov s'appuyait sur une proposition de Korobov non vérifiée par la fonction zêta de Riemann, et, de suspect, le résultat de Saltykov est maintenant connu pour être faux, mais depuis pas si longtemps que ça (disons vers la fin des années 90), de sorte que certains tentent parfois de l'utiliser sans vérifier.
Ainsi, même aujourd'hui, et malgré l'avancée des connaissances actuelles, on n'est pas capable de descendre ce malheureux exposant de $4/3$ à $1+o(1)$. C'est dur, les maths !...