Rotation de fonctions

BENKHADAJ
BENKHADAJ
dans Analyse
Bonjour les mathématiciens ;
en train de faire de l'analyse quand soudain je suis tombé sur le TAF théorème des accroissements finis ; et je me suis lancé dans la preuve du théorème; je me suis alors dit est-ce que le théorème de [large]R[/large]olle pouvait servir dans la démo ; pas en considérant la fct fonction classique bien choisie ; mais en essayant d'aborder le problème avec une approche géométrique ; je me suis dit (pour le cas d'une fct fonction croissante par exemple sur [a;b]) est-ce [que je pourrais faire pivoter la fct en quelque sorte autour du point (a;f(a)) avec un angle correspondant à la pente entre f(b) et f(a) si vous voyez ce que je veux dire, ainsi j'aurai une nouvelle courbe g qui verifie g(a) = g(b) et donc sa dérivée s’annule quelque part càd qu'une droite horizontale lui est tangente ainsi la fct originelle a bien elle aussi une droite tangente en un certain point mais de pente correspondant à f(b)-f(a)/b-a (pente qui correspond à l'angle de rotation).
Je ne sais pas si je me suis bien fait comprendre, le problème que j'ai rencontré était alors de trouver l'expression de cette nouvelle fct issue de la rotation de la premiere fct
Je serais bien reconnaissant si vous pourriez m'aider sur ce point là.
Merci d'avance ;)

[Michel Rolle (1652-1719) prend toujours une majuscule. AD]

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Il ne s'agit pas d'une "rotation". Mais l'idée est effectivement de modifier la fonction $f$ pour se ramener en situation d'appliquer le théorème de Rolle. On considère la fonction $g$ définie pour tout $x$ de $[a,b]$ par
    $$g(x) = f(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} (x-a)\;.$$
  • Dom
    Dom
    Une remarque : pour certaines fonctions l'idée ne fonctionne pas car effectuer une rotation du graphe peut rendre un graphe qui n'est pas celui d'une fonction.

    [size=x-small]@GaBuZoMeu
    BENKHADAJ précisait "pas en considérant la fct fonction classique bien choisie"[/size]
  • gebrane
    gebrane
    Il me semble qu'il veut dire que le théorème des accroissements finis revient au théorème de Rolle dans le repère (AX,AY)77344
    TAF.jpg 46.8K
    Le 😄 Farceur


  • Dom
    Dom
    Oui. C'est ce que j'ai compris aussi.
    Et je dis que ce n'est pas toujours possible de faire cela.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    1°) Pour la "fonction classique" que j'ai rappelée, ça correspond bien à une transformation géométrique sur le graphe : une transvection.
    2°) Pour une fonction croissante, on peut effectivement faire une rotation du graphe autour du point $(a,f(a))$ de façon à amener le point $(b,f(b))$ en $(c, f(a))$, où $c=a+\sqrt{(b-a)^2+(f(b)-f(a))^2}$. L'image du graphe de $f$ sera toujours le graphe d'une fonction dérivable sur $]a,c[$ (exercice). Quant à écrire explicitement cette fonction ... Pourquoi donc se torturer pour changer une démonstration simple en un supplice qui en plus ne donne le résultat souhaité que dans un cadre très restrictif ?
  • BENKHADAJ
    BENKHADAJ
    Bonjour, merci de vos réponses.
    C    'est exactement ce que je voulais dire gebrane
    GaBuZoMeu, c'est la première fois que j'entends ce mot transvection, ce n'est effectivement pas la meilleure méthode ni la plus adaptée mais c'était mon premier réflexe surtout que je venais de lire le théorème de Rolle et c'est l'intuition géométrique qui m'a fait penser à cette méthode.
    Dom je viens de réaliser ce que vous aviez dit, en effet pour certaines fonctions cette rotation peut rendre le graphe pas celui d'une fonction, par contre ce qui est intéressant est de voir si le théorème de Rolle est applicable dans le cas d'un graphe quelconque (dans la mesure qu'il soit lisse, dérivable quoi), si ça se révèle possible, on pourra alors envisager de faire cette rotation sans se soucier si le graphe restera celui d'une fonction ou pas, je ne sais pas si vous m'aviez compris.
    B    ref, je vous remercie tous pour votre temps.
    J    e continue de découvrir ce programme de MPSI très riche, je suis dans la partie analyse, et il s'est révélé amusant et surtout très intuitif je trouve.
    C    ordialement,.
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