Application de la transformée de Fourier

Bonjour.

La décomposition en série de Fourier ne concerne que les fonctions périodiques, ou, en périodisant, les fonctions définies sur un intervalle[a,b]. Elle n'a rien à voir avec la numérisation d'un signal (*), même si, pour un signal périodique correct, elle donne une suite (à priori infinie) de coefficients (de Fourier) et si une somme partielle de la série de Fourier permet (dans les bons cas) d'approximer le signal périodique. Mais ce n'est pas le signal numérisé.

La Transformée de Fourier concerne à la base des fonctions définies sur $\R$, à priori non périodiques, et qui sont intégrables sur $\R$ (disons Lebesgue-intégrable, ou absolument intégrables au sens de Riemann). Donc elles sont à priori non périodiques, puisque l'intégrale d'une fonction périodique non nulle diverge. On est donc dans un cadre tout à fait différent. Cependant, pour des fonctions presque périodiques, la transformée est composée de pics correspondant aux "presque fréquences", et permet de recomposer un signal approché, périodique.Très utile lorsqu'on a un signal périodique bruité.
De plus, on peut généraliser dans deux directions :
* Soit avec les transformations (généralisation des fonctions), ce qui permet d'avoir une TF de fonction périodique, très liée (mais différente) à la série de Fourier de la fonction.
* Soit en discrétisant la fonction, et on arrive à la notion de TF rapide (FFT), qui est un outil très efficace.
Toutes ces mathématiques sont à la base de la technologie du traitement du signal. Et généralisées encore avec les ondelettes.

Cordialement.


(*) Dans ce cadre, les mots "signal" et "fonction" sont des synonymes.

C'est un peu court ! On fait aussi d'autres sortes de filtrages (passe bas, passe haut, ...).