Base orthonormée, opérateur

Bonjour Nihal
Cela fait plusieurs messages que tu postes et qui comportent de grosses erreurs de compréhension.

1) Il faut que [tu] différencies dans les notations de ton énoncé l'espace de Hilbert $\mathcal{H}$ de l'opérateur hermitien $H$, tu les as écrits de la même façon.

2) Connais-tu la définition d'opérateur hermitien ? Que peux-tu dire sur ses valeurs propres ?

3) Connais-tu la définition du commutateur $[A, H]$ ?

4) Ton égalité est fausse et ne veut rien dire, mais une fois que tu auras répondu aux questions ci-dessus, ta question se résoudra toute seule.

Ça ne peut pas avoir de sens ! $\langle \varphi_n, [A,H]\varphi_n \rangle$ est un scalaire tandis que $[A,H] \langle \varphi_n, \varphi_n \rangle$ est un opérateur...

Tu manipules n'importe comment le produit scalaire. Il faut vraiment que tu comprennes la nature de objets que tu manipules. Tu es en train de dire que si $x$ et $y$ sont des vecteurs et $T$ un opérateur on a $\langle Tx,y \rangle = T \langle x,y \rangle$, ça n'a aucun sens ! $\langle x,y \rangle$ est un scalaire, tu ne peux pas le donner à manger à ton opérateur !