Généralisation de l'intégration polaire
Bonjour,
J'aimerais trouver une généralisation (ainsi qu'une preuve) de la formule d'intégration polaire:
$$\int_{\R^p} f(x)dx=\omega_{p-1}\int_0^\infty \int_{\mathbb S^{p-1}}f(ru)r^{p-1}d\sigma(u)dr,$$
ou $\mathbb S^{p-1}$ est la sphere unité incluse dans $\R^p$, $\omega_{p-1}$ est son aire surfacique, $\sigma$ est la probabilité uniforme sur $\mathbb S^{p-1}$ et $f$ est n'importe quelle fonction mesurable et intégrable sur $\R^p$.
La généralisation recherchée consiste a remplacer la sphere unite par le bord d'un ensemble convexe, compact, contenant l'origine dans son intérieur, dans la formule ci-dessus.
Merci !
Victor
J'aimerais trouver une généralisation (ainsi qu'une preuve) de la formule d'intégration polaire:
$$\int_{\R^p} f(x)dx=\omega_{p-1}\int_0^\infty \int_{\mathbb S^{p-1}}f(ru)r^{p-1}d\sigma(u)dr,$$
ou $\mathbb S^{p-1}$ est la sphere unité incluse dans $\R^p$, $\omega_{p-1}$ est son aire surfacique, $\sigma$ est la probabilité uniforme sur $\mathbb S^{p-1}$ et $f$ est n'importe quelle fonction mesurable et intégrable sur $\R^p$.
La généralisation recherchée consiste a remplacer la sphere unite par le bord d'un ensemble convexe, compact, contenant l'origine dans son intérieur, dans la formule ci-dessus.
Merci !
Victor
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Réponses
$\mu(dr,du) $ l'image de la mesure de Lebesgue par $x\mapsto (r_x,u_x)$. Tu la désintègres en $$ \mu(dr,du)=\pi(du)K(u,dr) \Rightarrow \int_Ef(x)dx=\int _{\partial C}\left(\int_0^{\infty}f(ru)K(u,dr)\right)\pi(du),$$ La mesure bornée $\pi$ est définie à une constante multiplicative près, et tu peux décider que c'est une probabilité.
P., finalement ma question revient a se demander s’il y a une expression pour le noyau $K(u,dr)$.
Merci encore !
Victor