Mesure fraction de l’espace

Bonjour à tous,
je me demandais s'il était possible de définir une mesure $\mu$ sur un espace $E$ (à priori un espace vectoriel de dimension fini), mettons sur $E=\mathbb{R}^2$ pour la visualisation, qui à une partie de $\mathbb{R}^2$ associe la surface de cette partie comme fraction de la surface du plan $\mathbb{R}^2$.

Ainsi $\mu$ : $E \to [0,1]$
Par exemple :
Pour $E=\mathbb{R}^2$, $A=\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}$, alors $A$ représente la moitié droite du plan, ainsi : $\mu(A)=1/2$.
Puis, on peut étendre cette définition aux fonctions continues (si $E=\mathbb{R}^p$ alors aux fonctions de $\mathbb{R}^{p-1}$ dans $\mathbb{R}$), en posant $\mu(f)=\mu(\{(t,y)\mid t\in\mathbb{R},\ |y|\le|f(t)|,\ sgn(y)=sgn(f(t))\})$.
Ainsi, toujours dans la même configuration ($E=\mathbb{R}^2$) : $\mu(Id_\mathbb{R})=1/4$.

Finalement, le $\mu$ de $f$ serait déterminé par le comportement à l’infini de $f$. Sur $\mathbb{R}_+$ par exemple, on aimerait : $f\sim g$ en $+infty$ si et seulement si $\mu(f)=\mu(g)$. Et finalement le problème revient à savoir s’il existe une bijection entre l’ensemble des classes d’équivalence pour $\sim$ et l’intervalle $[0,1/4]$. Je ne pense pas mais je n’en sais rien.
Bref, j’aimerais avoir votre avis sur cette idée : existe-t-il des outils similaires ? Est-ce possible ?
Voilà ! Merci d’avance et bonne journée