Distribution tempérée

poli12
poli12
dans Analyse
Bonjour
Pour $x=(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb R^3$ , $|x|=\sqrt{{x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2}$
J'aimerais montrer que $\frac{1}{|x|^2}$ est une distribution tempérée.

Réponses

  • gebrane
    gebrane
    Ce n'en est pas une ! Connais-tu les notions de parties principales et finies ?
    Le 😄 Farceur


  • poli12
    poli12
    Non pas vraiment mais je vais me ressourcer.
  • poli12
    poli12
    Pourtant il m'a été demandé de montrer cela en composition.
  • gebrane
    gebrane
    D’après ton prof $x\mapsto \frac 1{|x|^2}$ est une distribution sur $\R^3$ ?
    Le 😄 Farceur


  • poli12
    poli12
    Non. Mais une distribution tempérée sur $\mathbb R^3$
  • gebrane
    gebrane
    Avant d’être tempérée, il faut qu'elle soit une distribution , non?
    Le 😄 Farceur


  • gebrane
    gebrane
    Excuse moi poli, on a bien $x\mapsto 1/|x|^p$ une distribution tempérée pour $p<n$ , les parties finies interviennent si $p\geq n$.
    Je vais prendre de l'air:-D
    Le 😄 Farceur


  • Algèbre
    Algèbre
    N'y aurait-il pas un souci d'intégrabilité en $0$ ?
  • gebrane
    gebrane
    Non algèbre car 2<3 fais les calculs et tu verras :-D
    @Poli
    On commence par le commencement: Prend ta plume et montre que ta fonction est localement intégrable sur $\R^3$
    Le 😄 Farceur


  • poli12
    poli12
    La fonction est continue sur $\mathbb R^3\setminus\{0\}$ donc y est localement intégrable.
    Soit $\phi \in \mathcal S(\mathbb R^3)$ alors $\displaystyle <\frac{1}{|x|^2},\phi>\,=\lim_{\epsilon\to 0}\int_{|x|>\epsilon}\frac{1}{|x|^2}\phi (x)dx$. Comment continuer ?
    Dans $\mathbb R$ je m'en sors avec $\dfrac{1}{x}$ mais ceci me fixe sur place.
  • gebrane
    gebrane
    Il faut revoir ton raisonnement sur l’intégrabilité locale. Prend ton temps!
    Le 😄 Farceur


  • poli12
    poli12
    Mais lorsqu'une fonction est continue sur un ensemble privé éventuellement d'un nombre fini de points elle est localement intégrable sur cet ensemble (Bref c'est ce que je pense).
  • Poirot
    Poirot
    Bah non justement, il suffit de prendre la fonction inverse prolongée par n'importe quoi en $0$.
  • poli12
    poli12
    Donc je devrais montrer qu'elle est intégrable sur tout compact. Je l'essaye voir merci.
  • poli12
    poli12
    Sur les compacts ne contenant pas l'origine la fonction est intégrable. C'est ceux contenant l'origine qui créent problème. Bon je m'y mets.
  • gebrane
    gebrane
    Je t'explique ce premier point , le seul problème c'est au voisinage de $0_{\R^3}$ , on va montrer que ta fonction $f$ est intégrale sur $B_R$ : boule de $\R^3$ de rayon R et de centre $0_{\R^3}$ par passage en coordonnées sphérique
    $$\int_{B_R} f(x,y,z) dx\, dy\, dz=\int_{-\frac {\pi}2}^{\frac {\pi}2} \int_0^{2\pi} \int_0^R \frac 1{r^2} r^2\cos(\phi)dr\, d\theta\, d\phi$$
    Le 😄 Farceur


  • poli12
    poli12
    J'ai montrer que pour $a>0$ , $\int_{[-a,a]^3}\frac{1}{|x|^2}dx\le 8a$. Et donc que cette fonction est localement intégrable sur les compact contenant l'origine et donc est une distribution mais reste le problème de montrer qu'elle est tempérée.
  • poli12
    poli12
    S'il vous plait comment montrer que c'est une distribution tempérée.
  • poli12
    poli12
    Merci Gebrane ta manière de montrer que c'est intégrable est super. En plus ça montre que c'est $L^1(\mathbb R^3)$ et comme les éléments de $L^1(\mathbb R^3)$ sont des distributions tempérées on a le résultat. Merci.
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