Question de limite sup

Petit mathématicien · June 2018

Bonjour,
j'essaye actuellement de comprendre pourquoi

$\displaystyle P(\limsup |X_n - X | > \epsilon) = \lim_{m \rightarrow \infty} P(\sup_{n\ge m} |X_n -X| > \epsilon)$

Pour cela, je dois comprendre pourquoi l'ensemble $\displaystyle \bigcup _{n=m}^\infty \{|X_k| > \epsilon\}=\sup_{n\ge m} \{|X_n| > \epsilon\}$
l'inclusion $\subset$ est évidente
il me reste $\supset$ qui est plus ardue.
Des pistes ?

Poirot · June 2018

Si $\sup_{n \geq m} |X_n(\omega)| > \epsilon$ alors en particulier il existe un entier $n \geq m$ tel que $|X_n(\omega)| > \epsilon$. On peut le voir en utilisant la caractérisation de la borne supérieure, ou même la caractérisation séquentielle. Ensuite il suffit de connaître le lien entre réunion et quantification existentielle.

Petit mathématicien · June 2018

Merci, c'est compris.

gebrane · June 2018

@Poirot
Peux-tu m'expliquer le lien entre son écriture $\sup_{n\ge m} \{|X_n| > \epsilon\}$ et ton raisonnement qui commence avec si $\sup_{n \geq m}\{ |X_n(\omega)|\} > \epsilon$ j'ai l'impression qu'il y a un déplacement des { }

Poirot · June 2018

Je pense qu'il s'agit tout simplement d'une coquille et que l'on parle bien de l'événement $\{\sup_{n \geq m} |X_n| > \epsilon\}$.

Petit mathématicien · June 2018

Oui, accolade mal placée, je voulais bien sûr écrire: $ \sup_{n\ge m} \{|X_n| \} > \epsilon$

Question de limite sup

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