Démonstration expression tenseur
J'essaie de démontrer l'expression suivante pour le tenseur énergie-impulsion (les brackets $\big<~\big>$ représentent une valeur moyenne) :
\begin{align*}
T^{\mu\nu} &= n(\vec{x})\,\bigg< \dfrac{p^{\mu}p^{\nu}}{E}\bigg>&\qquad(1)\\
\text{à partir de cette relation : }\quad
T^{\mu\nu}&=\int \dfrac{\text{d}^3p}{E} F(\vec{x},\vec{p})p^{\mu}p^{\nu}&\qquad(2)
\end{align*}
où $n(\vec{x})$ est la densité de particules dépendant de la position $\vec{x}$, $p^{\mu}$ et $p^{\nu}$ les impulsions, $E$ est l'énergie et $F(\vec{x},\vec{p})$ la fonction de distribution dans l'espace des phases $(\vec{x},\vec{p})$ définie par : $$
F(\vec{p},\vec{x})=\dfrac{\text{d}N(\vec{x}+\text{d}\vec{x},\vec{p}+\text{d}\vec{p})}{\text{d}^3x\,\text{d}^3p}$$
Ma tentative à partir de $(2)$ :
Si j'utilise le delta de probabilités $\text{d}P$ avec la fonction de distribution $f(\vec{x},\vec{p})$ définies par :
\begin{align*}
\text{d}P&=f(\vec{x},\vec{p})\text{d}^3 x\,\text{d}^3 p=\dfrac{\text{d}N}{N_{total}}=\dfrac{F(\vec{x},\vec{p})}{N_{total}}\text{d}^3 x\,\text{d}^3 p\\
\text{avec : }\ N_{total}&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}F(\vec{x}+\text{d}\vec{x},\vec{p}+\text{d}\vec{p})\text{d}^3x\,\text{d}^3p \\
\text{J'ai donc : }\ f(\vec{x},\vec{p})&=\dfrac{F(\vec{x},\vec{p})}{N_{total}} \\
\text{Alors, j'obtiens : }\ T^{\mu\nu} &= \int \dfrac{\text{d}^3p}{E}\,F(\vec{p},\vec{x})p^{\mu}p^{\nu}\\
&=\int \bigg[\dfrac{p^{\mu}p^{\nu}}{E}\,f(\vec{p},\vec{x})d^3 x\,d^3 p \bigg]\,\dfrac{N_{total}}{d^3 x}\\
&=\bigg[\int \dfrac{N_{total}}{d^3 x}\bigg] \bigg< \dfrac{p^{\mu}p^{\nu}}{E}\bigg>&\qquad(3)
\end{align*}
Mais le premier facteur $\bigg[ \displaystyle \int \dfrac{N_{total}}{d^3 x}\bigg]$ ne me semble pas être égal à : $$
n(\vec{x})=\dfrac{\text{d}N(\vec{x}+\text{d}\vec{x},\vec{p}+\text{d}\vec{p})}{\text{d}^3x}\qquad\qquad(4)
$$ Comme j'aimerais qu'il apparaisse en $(1)$ car si j'intègre $\displaystyle \bigg[\int \dfrac{N_{total}}{d^3 x}\bigg]$, alors j'obtiens une densité $n$ qui ne dépend pas de la position $\vec{x}$, c'est-à-dire que j'obtiens la densité sur l'ensemble du volume considéré : est-ce correct ?
Si quelqu'un pouvait m'aider à retrouver l'expression $(1)$ et plus particulièrement le facteur $n(\vec{x})$.
Peut-être la définition de $n(\vec{x})$ que j'ai prise en $(4)$ n'est pas bonne ... toute aide est la bienvenue.
\begin{align*}
T^{\mu\nu} &= n(\vec{x})\,\bigg< \dfrac{p^{\mu}p^{\nu}}{E}\bigg>&\qquad(1)\\
\text{à partir de cette relation : }\quad
T^{\mu\nu}&=\int \dfrac{\text{d}^3p}{E} F(\vec{x},\vec{p})p^{\mu}p^{\nu}&\qquad(2)
\end{align*}
où $n(\vec{x})$ est la densité de particules dépendant de la position $\vec{x}$, $p^{\mu}$ et $p^{\nu}$ les impulsions, $E$ est l'énergie et $F(\vec{x},\vec{p})$ la fonction de distribution dans l'espace des phases $(\vec{x},\vec{p})$ définie par : $$
F(\vec{p},\vec{x})=\dfrac{\text{d}N(\vec{x}+\text{d}\vec{x},\vec{p}+\text{d}\vec{p})}{\text{d}^3x\,\text{d}^3p}$$
Ma tentative à partir de $(2)$ :
Si j'utilise le delta de probabilités $\text{d}P$ avec la fonction de distribution $f(\vec{x},\vec{p})$ définies par :
\begin{align*}
\text{d}P&=f(\vec{x},\vec{p})\text{d}^3 x\,\text{d}^3 p=\dfrac{\text{d}N}{N_{total}}=\dfrac{F(\vec{x},\vec{p})}{N_{total}}\text{d}^3 x\,\text{d}^3 p\\
\text{avec : }\ N_{total}&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}F(\vec{x}+\text{d}\vec{x},\vec{p}+\text{d}\vec{p})\text{d}^3x\,\text{d}^3p \\
\text{J'ai donc : }\ f(\vec{x},\vec{p})&=\dfrac{F(\vec{x},\vec{p})}{N_{total}} \\
\text{Alors, j'obtiens : }\ T^{\mu\nu} &= \int \dfrac{\text{d}^3p}{E}\,F(\vec{p},\vec{x})p^{\mu}p^{\nu}\\
&=\int \bigg[\dfrac{p^{\mu}p^{\nu}}{E}\,f(\vec{p},\vec{x})d^3 x\,d^3 p \bigg]\,\dfrac{N_{total}}{d^3 x}\\
&=\bigg[\int \dfrac{N_{total}}{d^3 x}\bigg] \bigg< \dfrac{p^{\mu}p^{\nu}}{E}\bigg>&\qquad(3)
\end{align*}
Mais le premier facteur $\bigg[ \displaystyle \int \dfrac{N_{total}}{d^3 x}\bigg]$ ne me semble pas être égal à : $$
n(\vec{x})=\dfrac{\text{d}N(\vec{x}+\text{d}\vec{x},\vec{p}+\text{d}\vec{p})}{\text{d}^3x}\qquad\qquad(4)
$$ Comme j'aimerais qu'il apparaisse en $(1)$ car si j'intègre $\displaystyle \bigg[\int \dfrac{N_{total}}{d^3 x}\bigg]$, alors j'obtiens une densité $n$ qui ne dépend pas de la position $\vec{x}$, c'est-à-dire que j'obtiens la densité sur l'ensemble du volume considéré : est-ce correct ?
Si quelqu'un pouvait m'aider à retrouver l'expression $(1)$ et plus particulièrement le facteur $n(\vec{x})$.
Peut-être la définition de $n(\vec{x})$ que j'ai prise en $(4)$ n'est pas bonne ... toute aide est la bienvenue.
Réponses
-
Bonjour,
Que vaut la moyenne d’une quantité Q ? C’est l’intégrale de cette quantité pondérée sur un certain volume divisée par l’intégrale de cette pondération sur ce volume. Application.
Pour être plus explicite : calcule $\int d^3p F(x,p)$ et plus précis encore : $n(x)$ est une DENSITÉ VOLUMIQUE autour du point $x$.
Le nombre total de particules s'écrit $\displaystyle N=\iint d^3xd^3p F(x,p)$ - ce n'est pas ce que tu as écrit. $F(x,p)$ est une densité volumique dans l'espace des phases qui représente le nombre de particules situées dans un volume $d^3x$ centré en $x$ ET qui ont une impsultion $p$ à $d^3p$ près. La densité de particules en $\displaystyle x$ est donc $\displaystyle n(x) = \int d^3p F(x,p)$ : on vérifie que $\displaystyle N = \int d^3x n(x).$ La valeur moyenne d'une quantité $\displaystyle Q(x,p)$ est donc ... -
Bonjour,
merci YvesM pour ta réponse. Visiblement, mon erreur se situe à ce niveau. \begin{align*}
T^{\mu\nu} &= \int \dfrac{\text{d}^3p}{E}\,F(\vec{p},\vec{x})p^{\mu}p^{\nu}\\
&=\int \bigg[\dfrac{p^{\mu}p^{\nu}}{E}\,f(\vec{p},\vec{x})d^3 x\,d^3 p \bigg]\,\dfrac{N_{total}}{d^3 x}\\
&=\bigg[\int \dfrac{N_{total}}{d^3 x}\bigg] \bigg< \dfrac{p^{\mu}p^{\nu}}{E}\bigg>&\qquad(3)
\end{align*} Plus précisément quand je veux faire apparaître la moyenne de $\dfrac{p^{\mu}p^{\nu}}{E}$ à l'aide de la fonction de densité normalisée $f(\vec{x},\vec{p})$, j'aimerais appliquer la définition de l'espérance d'une variable aléatoire $X$ connaissant la fonction de densité normalisée $f(X,Y)$ qui est égale à : $$E[X]=\int \int x\,f(x,y)\,\text{d}x\text{d}y\qquad\qquad(4)
$$ Dans mon cas, la fonction de départ $F(\vec{x},\vec{p})$ n'est pas normalisée car si j'intègre sur toutes les positions et impulsions, j'obtiens $N_{total}$ et non 1 : $$
N_{total}=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}F(\vec{x}+\text{d}\vec{x},\vec{p}+\text{d}\vec{p})\text{d}^3x\,\text{d}^3p
$$ Là où est sûrement mon erreur est le passage de : \begin{align*}
T^{\mu\nu}& =\int \bigg[\dfrac{p^{\mu}p^{\nu}}{E}\,f(\vec{p},\vec{x})\text{d}^{3} x\,\text{d}^{3} p \bigg]\,\dfrac{N_{total}}{\text{d}^{3} x}&\qquad(5) \\
\textbf{à }\quad T^{\mu\nu} &= \bigg[\int \dfrac{N_{total}}{\text{d}^{3} x}\bigg] \bigg< \dfrac{p^{\mu}p^{\nu}}{E}\bigg>&\qquad(6)
\end{align*} En effet, je fais apparaître le facteur $\text{d}^{3}x$ dans l'intégration sur $\text{d}^{3}p$ en $(5)$ (tout en divisant par le même facteur pour conserver l'égalité), ce qui me permet d'appliquer la formule de l'espérance $(4)$ ci-dessus.
Mais le problème est que je me retrouve après avec un facteur $\dfrac{N_{total}}{\text{d}^{3}x}$ dont je ne sais quoi faire une fois que j'ai utilisé l'expression $(4)$. D'un point de vue dimensionnel, je vois bien que l'intégrale suivante est homogène à une densité : $$n(\vec{x})=\int \text{d}^{3}p\,F(\vec{p},\vec{x})
$$ Je ne sais pas si je suis assez clair mais j'aimerais savoir à quel niveau est mon erreur dans le passage de $(5)$ à $(6)$, ceci pour faire apparaître le facteur $n(\vec{x})$.
Merci par avance. -
Bonjour,
Ton passage de (5) à (6) n'a aucun sens (car la quantité $\displaystyle {N \over d^3x}$ n'existe pas à la limite où $d^3x$ tend vers zéro). Ta formule donnant $N$ est fausse (je te l'ai déjà corrigée). On définit la DENSITE VOLUMIQUE dans l'espace des phases $\displaystyle F(x,p)$ : le nombre de particules est donc $\displaystyle N =\iint d^3xd^3p F(x,p)$ : c'est bien $\displaystyle F(x,p)$ dans l'intégrande.
Quelle est la moyenne d'une quantité $Q$ ? Au point $x$ la moyenne de $Q$ s'obtient en additionnant toutes les contributions des particules situées en $x$ à $\displaystyle d^3 x$ près puis en divisant par le nombre de particules dans ce volume, et donc : $\displaystyle <Q> = {\displaystyle \int d^3p F(x,p) Q(x,p) \over\displaystyle \int d^3p F(x,p)} .$ (*) On a pris la moyenne sur toutes les impulsions : dans le volume $d^3x$ centré en $x$, on a regardé toutes les particules et on a sommé toutes ces contributions pour obtenir une moyenne. Cette moyenne dépend du point $x$ choisi.
Comme la densité volumique de particule vaut $\displaystyle \int d^3p F(x,p)=n(x)$ alors, par définition, $\displaystyle \int d^3p F(x,p) Q(x,p) = n(x) <Q>.$ Une fois ceci compris, on utilise directement les densités.
Application : dans ta question, on a $\displaystyle Q(x,p) = {p^{\mu} p^{\nu} \over E}.$
(*) si tu préfères, comme $<Q>$ apparaît comme le rapport de deux densités, tu peux écrire le rapport de deux moyennes sur un véritable nombre de particules. Le nombre de particules au dénominateur, donc dans le volume $\displaystyle d^3x$ centré en $x$ et $\displaystyle \int_{dV} d^3y\, n(y)$ avec $dV$ le volume centré en $x$ qui vaut $\displaystyle d^3x$ : par le théorème de la moyenne, on a $\displaystyle \int_{dV} d^3y n(y) = dV n(x)$ : la fonction prend sa valeur moyenne au centre du volume (petit). Le numérateur se traite de la même façon et le $\displaystyle dV$ se simplifie avec les fonctions prise au centre $x.$
La formule que tu cherches est sans doute : $\displaystyle <Q> = \lim_{V(x) \to 0} {\displaystyle \int_{V(x)}d^3y \int_\Omega d^3p F(y,p) Q(y,p) \over\displaystyle \int_{V(x)}d^3y \int_\Omega d^3p F(y,p)} $ avec $V(x)$ le volume de l'espace (physique) centré en $x$ et $\Omega$ le volume total des impulsions dans l'espace des phases. -
Bonjour YvesM,
quand tu me dis que ma formule donnant $N_{total}$ : $$
N_{total}=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}F(\vec{x}+\text{d}\vec{x},\vec{p}+\text{d}\vec{p})\text{d}^3x\,\text{d}^3p
$$ est fausse, tu veux dire que les bornes d'intégration $(-\infty,+\infty)$ ne sont pas bonnes ?
Ta définition semble être : $\displaystyle N=\iint d^3xd^3p F(x,p)$
mais tu ne précises pas les bornes d'intégration ?
Pour la suite, pourrais-tu me dire d'où viennent les relations suivantes (ou plus précisément de quel théorème ou démonstration, si tu as des liens Wikipedia ou autres, je suis preneur) : $$
<Q>\, = {\displaystyle \int d^3p F(x,p) Q(x,p) \over\displaystyle \int d^3p F(x,p)}
\quad \text{ et }\quad
<Q>\, = \lim_{V(x) \to 0} {\displaystyle \int_{V(x)}d^3y \int_\Omega d^3p F(y,p) Q(y,p) \over\displaystyle \int_{V(x)}d^3y \int_\Omega d^3p F(y,p)}
$$ Merci pour aide. -
Bonjour,
Tu intègres sur tout le volume. Pour les $x$, à trois dimensions, $\int d^3 x= \int dx \int dy \int dz$ donc le volume est à trois dimensions, pas à une seule. Il faut écrire $\int d^3 x = \int_V d^3x$ avec $V$ un volume ou si tu veux $\int d^3 x= \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}d^3 x$
Pour les formules, il suffit de compter $1,2,3$ et tu continues pour avoir les particules dans un volume $d^3x d^3p$... je n'ai pas de référence sous la main, mais c'est la définition de la densité dans l'espace des phases.
Enfin, ta formule fausse est dans l'argument de la fonction $F$, c'est $F(x,p) $ et non pas $F(x+d^3x, p+d^3p)$...
A une dimension, tu écris un truc comme $\int_{0}^{1} \sin(x+dx) dx$, tu vois un problème ou pas ?
J'ai écrit toutes les explications possibles... reprend la question depuis le début : quelle est la définition de $F$ ? quel est le nombre de particules dans tout le volume (de l'espace) ? quel est le nombre de particules dans un volume donné (de l'espace) ? quelle est la moyenne d'une quantité dans un volume (de l'espace) donné ? quelle est la moyenne d'une quantité en un point ?
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Bonjour!
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