Régularité d'une mesure diffuse et finie

gillesR · June 2018

Bonjour,
L'exercice 6 du fichier joint m'intéresse. Il s'agit de montrer qu'une mesure diffuse et finie sur tout compact est régulière.
Je n'arrive à faire l'exercice... sans jamais utiliser le fait que la mesure est diffuse.
Je pensais avoir à utiliser le résultat de l'exercice 2 à un moment ... mais non !
Pouvez-vous voir à quel moment il faut utiliser le fait que la mesure est diffuse ?
Merci bien.
Gilles

gebrane · June 2018

Bonjour,

Comment tu démontres le 1-i si $\mu$ charge les points?

gillesR · June 2018

Bonjour,
Oui je me doute bien que c'est cette question qui coince... mais je ne vois pas où est le problème.
Je prends $O=]a,b[$, $F_n = [a+1/n, b-1/n]$ (avec $n$ assez grand pour que $a+1/n < b-1/n$). Alors $O\F_n$ forme une suite décroissante d'intersection vide donc $\mu(O\F_n)$ converge vers 0... On en déduit que $\mu(O\F_n)$ est inférieur à un epsilon fixé à l'avance pour n assez grand. Et donc $]a,b[ \in T$...
Je ne vois pas où est le problème...

gebrane · June 2018

a reflechir

gillesR · June 2018

euh, il me semble que l'intersection des $]a,a+1/n[$ est $\emptyset$ et pas $\{a\}$... et donc la limite est $0$ et pas $\mu(\{a\})$...

gebrane · June 2018

j'avais vu [ a la place de ] ( j'ai effacé avant que tu répliques :-D)
donc pas de problème pour 1-i

gillesR · June 2018

Ok,
Et donc ? Vois-tu d'où viens le problème ?

gebrane · June 2018

Pour le moment je reprends ( même ingrédient que dans l'exercice) une preuve sur la régularité de la mesure de Lebesgue ( qui est diffuse) . Dans une premier lecture , je ne vois pas l'utilisation dr fait que la mesure est diffuse http://mathonline.wikidot.com/the-regularity-properties-of-the-lebesgue-measure#toc0

gillesR · June 2018

En fait, j'ai fait tout l'exo sans utiliser la "diffusion" sauf que je n'ai pas encore réussi la régularité intérieure dans le cas où la mesure n'est pas finie. Peut-être que c'est là qu'on utilise la diffusion.... À voir

gebrane · June 2018

Dans ce papier https://adnab.me/files/cours/L3S1-IntegrationProbas.pdf theoreme page 36 on remplace $\R$ par un espace métrique séparable E, l'auteur démontre qu'une mesure finie sur les compacts est régulière ( regarde leur définition sur une mesure de Radon) ( sans parler de diffusion de la mesure :-D)

gillesR · June 2018

Super. Merci de t'être intéressé au problème. Et merci pour le fichier. Il répond tout à fait à la question. Moralité : il ne faut pas croire les yeux fermés n'importe quelle fiche de TD.
Et pour ton adage. Oui, tout à fait d'accord. Et c'est même limite dangereux cette capacité des maths à couper du monde.

Gilles

mojojojo · June 2018

Deux petite remarques :
-Je pense que la correction d'AD du premier message en change le sens. A mon avis il faut bien lire "j'arrive à faire l'exercice sans jamais utiliser la notion de mesure diffuse"
[C'est bien possible, et dans ce cas veuillez m'en excuser ! :-( AD]

-Dans la fiche de TD qui est mise en pièce jointe du premier message il est bien précisé que la propriété reste vraie sans l'hypothèse de mesure diffuse.

Il se peut donc que tu aies fait une erreur et utilisé sans t'en apercevoir la notion de mesure diffuse, il se peut aussi que tu aies fait autre chose que ce que l'auteur du sujet avait en tête et enfin il est aussi possible que l'auteur du sujet ait cru que l'hypothèse de mesure diffuse simplifiait les choses alors que ce n'était pas vraiment le cas. Tu peux donc continuer à avoir une confiance raisonnable dans les feuilles de TD ;-)

gebrane · June 2018

@mojojo

C'est ta feuille de TD ?, Hein ! avoue-le :-D

Sans blagues , la dernière question " 3. Et si on renonce à l’hypothèse $\mu$ diffuse ? suggère que l'auteur de la feuille de TD avait lui même un doute sur la nécessité ou non de la condition

Régularité d'une mesure diffuse et finie

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