Inégalité de convexité

dgregory · June 2018

Bonjour,
Pourriez vous m'aider à résoudre le problème suivant. Je cherche à prouver que $\tan(x)$ est convexe sur ${\displaystyle \left[0, {{\pi}\over{2}}\right[}$ avec l'inégalité :
${\displaystyle f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\leq {\frac {f(a)+f(b)}{2}}.} $
Je précise que je sais qu'on peut utiliser le signe de la dérivée seconde de $\tan(x)$ ; d'ailleurs, c'est assez facile de prouver la convexité de $\tan(x)$ avec ça ; mais il faut impérativement utiliser l'inégalité entre les valeurs moyennes ci-dessus.
Pour l'instant, j'ai choisi de poser ${\displaystyle u = \tan\left(\frac{a}{2}\right)}$ et ${\displaystyle v = \tan\left(\frac{b}{2}\right)}$. Dans ce cas, j'obtiens avec les identités trignométriques :
${\displaystyle \frac{u+v}{1-uv} \leq \frac{u}{1-u^2} + \frac{v}{1-v^2}}$ avec $u, v \in [0, 1[$.
Là, on remarque que pour $u = v$, il y a égalité ; donc quitte à permuter $u$ et $v$, on peut supposer que $u < v$. En partant de $u < v$, j'obtiens après différentes opérations :
${\displaystyle \frac{u}{1-u^2} \leq \frac{u}{1-uv} \leq \frac{v}{1-uv} \leq \frac{v}{1-v^2}.}$
Mais ensuite, je coince.

YvesM · June 2018

Bonjour,

C'est un peu con parce que pour montrer ton inégalité, tu vas devoir utiliser la convexité d'une autre fonction que tangente (donc on tourne en rond).
Par CS : $\displaystyle ({u \over 1-u^2} +{v \over 1-v^2} ) (u(1-u^2) + v(1-v^2)) \geq (u+v)^2 $ et on a bien l'inégalité voulue car $\displaystyle {(u+v)^2 \over u(1-u^2) + v(1-v^2)} \geq {u+v \over 1-uv}$ puisque, tous calculs faits, $\displaystyle (u-v)^2 \geq 0.$

dgregory · June 2018

Merci beaucoup.

rakam · June 2018

Bonjour !
Je pense qu'il s'agit du classique :
Si $f$ est continue et vérifie l'inégalité proposée alors $f$ est convexe.

Une solution consiste à montrer, par récurrence sur l'entier $n$, que si $(p,q)\in\N^2,\;p+q=2^n$ alors
$$p2^{-n}f(a)+q2^{-n}f(b)-f(p2^{-n}a+q2^{-n}b)\geqslant0$$
puis utiliser la densité des nombres dyadiques.

dgregory · June 2018

Bonjour,
Merci. En effet, il me semble que c'est ce qu'on fait pour montrer que cette condition (faible) sur les milieux est équivalente à la condition (forte) "classique" :
${\displaystyle f(a+(1-t)\,b)\leq t\,f(a)+(1-t)\,f(b).}$
Mais du coup là, avec $\tan(x)$ je devais le prouver pour $p=q$ et $n=1$ ; ce que la remarque de YvesM m'a permis de faire.

gebrane · June 2018

@dgregory
Peux-tu appliquer cette méthode pour démontre que $x\to e^x$ est convexe sur $\R$ ( je ne sais si c'est simple de prouver que $\displaystyle e^{\frac{x+y}2}\leq\frac{e^x+e^y}{2}\quad \forall x,y$

dgregory · June 2018

@gebrane
Bonjour,
Oui ça revient à $(e^x-e^y)^2 \geq 0$.

gebrane · June 2018

Bien vu ( plutôt $(e^{x/2}-e^{y/2})^2 \geq 0$)
et pour $x\to -sin(x)$ sur $[0,\frac{\pi}2]$?

Foys · June 2018

A l'aide de l'égalité $\tan ' = 1+ \tan^2$ et du fait que $\tan$ est positive sur $\left [0,\dfrac{\pi}{2} \right[$ peut montrer successivement que la dérivée de $\tan$ est positive, puis croissante et en déduire la convexité de cette fonction sur l'intervalle considéré.

Etablir directement que $\tan\left(\dfrac{a+b}{2}\right )\leq \dfrac{\tan (a) + \tan (b)}{2}$ pour tous $a,b\in \left [0,\dfrac{\pi}{2} \right [$ (et conclure la convexité de la fonction à l'aide d'un théorème non trivial) s'apparente davantage à un challenge.

gebrane · June 2018

@Foys
Au lycée un prof fou nous demandait de démontrer la continuité de $x\to x^2-3x+2$ en 1 avec les epsilon . Un vrai challenge à l’époque.
Un challenge démontrer que $x\to -\ln(\ln(x))$ est convexe sur $]1,+\infty[ ( avec la propriété)

moduloP · June 2018

$$
x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)
$$
Soit $\epsilon>0$, posons $\eta = \epsilon /(1+\epsilon)$. Alors soit $x$ tel que $ \mid x-1 \mid < \eta$ alors par inégalité triangulaire $\mid x-2 \mid < 1+\epsilon$ et
$$
\mid x^2-3x+2 \mid = \mid x-1 \mid \mid x-2 \mid < \epsilon $$

ouf, c'est bon j'ai mon bac ?

gebrane · June 2018

@moduloP
Pas si vite, il te reste le deuxieme challenge pour confirmer ton Bac :-D
Tu as 30s

Foys · June 2018

@gebrane (spoiler)

Soit $E(I)$ l'ensemble des applications de l'intervalle $I$ dans $\R$ telles que pour tous $a,b \in I$, $f \left ( \dfrac{a+b}{2} \right ) \geq \dfrac{f(a)+f(b)}{2} $ (pseudo concavité: le résultat non trivial évoqué ci-dessus dit que tout élément continu de $E(I)$ est concave).

1°) Soient $f:I \to J$, $g:J \to \R$. Si $f \in E(I), g\in E(J)$ et $g$ est croissante alors $g \circ f \in E(I)$.
En effet si $a,b \in I$, on a $ f \left( \dfrac{a+b}{2}\right) \geq \dfrac{f(a)+f(b)}{2}$ et donc par croissance de $g$,
$g \circ f \left( \dfrac{a+b}{2}\right) \geq g \left( \dfrac{f(a)+f(b)}{2}\right)$, on conclut avec l'inégalité $g \left( \dfrac{f(a)+f(b)}{2}\right) \geq \dfrac{g \circ f(a)+g \circ f(b)}{2} $.

2°) Soient $a,b$ réels positifs, on a $(a-b)^2\geq 0$ d'où $(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab \geq 4ab$ d'où (en divisant par quatre l'inégalité précédente)$ \left( \dfrac{a+b}{2}\right)^2 \geq ab$ d'où $ \left( \dfrac{a+b}{2}\right)\geq \sqrt{ab}$ d'où (en passant au log) $\log \left( \dfrac{a+b}{2}\right) \geq \left( \dfrac{\log(a)+ \log (b)}{2}\right)$. Ainsi, $\log \in E(]0,+\infty[) $ et a fortiori, $\log \in E(]1,+\infty[)$. Ceci et la propriété 1°) entraînent que $\log \circ \log \in E(]1,+\infty[)$. On en déduit immédiatement, pour tous $a,b>1$, l'inégalité $$- \log \left [\log \left( \dfrac{a+b}{2}\right) \right ]\leq \left( \dfrac{-\log \left(\log (a) \right) - \log \left( \log (b)\right )}{2}\right)$$

gebrane · June 2018

Le challenge n'a pas résisté 8-)

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