Question de trigo hyperbolique

Nyis
Nyis
dans Analyse
Bonjour,
Je travaille sur un bouquin avec des exercices dont les corrections sont parfois un peu minimalistes.
Dans un corrigé il y a :
(exp x)[(1-exp((n+1)y))/(1-(exp y))] = (exp x)[exp((n+1)y/2)][(sh((n+1)y/2))/(sh(y/2))]

J'ai beau chercher, je ne vois pas quelle formule, ou quelle succession de formules, permet de faire cette égalité.

Réponses

  • Dom
    Dom
    J'ai tenté une première réécriture...

    $e^x \dfrac{1-e^{(n+1)y}}{1-e^y} = e^x e^{\dfrac{(n+1)y}{2}} \dfrac{\sinh(\dfrac{(n+1)y}{2}))}{\sinh(\dfrac{y}{2})}$

    Ce n'est pas parfait...8-)

    Remarque :
    -déjà, si je ne me suis pas trompé, le $e^x$ se biffe
    -à gauche, on lit une somme partielle des termes consécutifs d'une série géométrique
  • Nyis
    Nyis
    Quel outil tu utilises pour faire ce genre d'écriture ?
    C'est effectivement pratique.
  • Dom
    Dom
    Ha, je ne suis pas un pro du tout : C'est le code $\LaTeX$

    Essaye : tu tapes ton texte et tu tapes "e^x" en mettant des dollars au lieu des guillemets.
  • Dom
    Dom
    Bon, l'idée est de transformer : $ 1-e^y$ en factorisant par $e^{\frac{y}{2}}$. Cela fait apparaître le $\sinh$.

    Remarque : le plus simple et de faire un clic droit sur les formules que tu vois afin de les réutiliser.
    "Show Math as" puis "Tex commands"
  • Nyis
    Nyis
    Dom écrivait :
    > -à gauche, on lit une somme partielle des termes consécutifs d'une série géométrique

    Même une somme complète non ?
    de la série
    exp(0y) + exp(1y) + exp(2y) + ... + exp(ny)

    premier terme : 1
    raison : exp(y)
  • Dom
    Dom
    Et bien...j'appelle cela une somme partielle ;-) car pour moi la somme de la série (faut-il qu'elle soit convergente) c'est la somme de tous les termes de la suite.
  • gebrane
    gebrane
    Quand même : la formule est fausse! ; pour n=0, à gauche cela donne 1 et à droite cela donne ?
    À corriger donc la formule
    Le 😄 Farceur


  • Dom
    Dom
    Oui, y'a une c___ dans le potage...
  • Nyis
    Nyis
    oui effectivement !
    pourtant c'est bien ce qu'il y a dans le corrigé.
    Tant pis, exercice suivant.

    merci à vous.
  • gebrane
    gebrane
    @Nyis pas si vite la formule est "corrigeable" :-

    J’hésite entre Corrigible, corrigeable ou correctible à l'aide Dom
    Le 😄 Farceur


  • Dom
    Dom
    Corrigeable et corrigible existent et seraient synonymes.

    Partons du membre de gauche et regardons avec la méthode (ultra classique) que j'ai indiquée.
  • Dom
    Dom
    Si je ne me trompe pas l'identité probablement posée aurait dû être :

    $e^x \dfrac{1-e^{(n+1)y}}{1-e^y} = e^x e^{\tfrac{ny}{2}} \dfrac{\sinh\Big(\dfrac{(n+1)y}{2}\Big)}{\sinh\Big(\dfrac{y}{2}\Big)}$
  • gebrane
    gebrane
    C'est nickel. Pourquoi cet expo orphelin dans les deux côtés.
    Le 😄 Farceur


  • Dom
    Dom
    Oui, on n'a pas l'énoncé complet.
  • gebrane
    gebrane
    Mais on peut imaginer un énoncé, calculer la limite quand $n\to +\infty$ de la suite $n\mapsto e^{\tfrac{ny}{2}} \dfrac{\sinh\Big(\dfrac{(n+1)y}{2}\Big)}{\sinh\Big(\dfrac{y}{2}\Big)},\quad \forall y>0$

    Je trouve $+\infty$ et avec la formule $ \dfrac{1-e^{(n+1)y}}{1-e^y} $ je trouve $ \dfrac{1}{1-e^y} $
    bizarre.

    [$\LaTeX$ fournit les commandes \to et \mapsto pour avoir $E\to F$ et $x\mapsto f(x)$. ;-) AD]
    Le 😄 Farceur


  • Nyis
    Nyis
    L'énoncé, c'est de simplifier
    En = SIGMA[exp(x+ky)] pour k=0,1,2,...,n

    L'énoncé arrive à

    En = exp(x)SIGMA[exp(ky)] = $e^x \dfrac{1-e^{(n+1)y}}{1-e^y} = e^x
    e^{\dfrac{(n+1)y}{2}}
    \dfrac{\sinh(\dfrac{(n+1)y}{2})}{\sinh(\dfrac{y}{
    2})}$


    Et ensuite il considère les parties paires et impaires.
    Mais si déjà l'égalité est fausse, c'est difficilement praticable.
  • roumegaire
    roumegaire
    L'égalité proposée par Dom est la bonne : il faut lire $e^{\frac{ny}{2}}$ au lieu de $e^{\frac{(n+1)y}{2}}$ dans le corrigé (ce qui ne doit pas fondamentalement changer la donne). Pour y arriver la méthode a aussi été décrite par Dom : factoriser le numérateur par $e^{\frac{(n+1)y}{2}}$ et le dénominateur par $e^{\frac{y}{2}}$, le résultat en découle immédiatement.

    Pour la suite de l'exercice (et du raisonnement), comme d'habitude tout serait plus simple si nous avions accès à toute l'information (énoncé + correction) plutôt que des bribes. Pour le moment je ne vois pas trop pourquoi faire apparaître des $sinh$ est une simplification de l'expression.

    Concernant la parité, $sinh$ étant impaire, le quotient est donc pair.
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