Module de continuité

Blackbird · June 2018

Bonjour à tous,

Je suis parfaitement convaincu que le module de continuité $\omega : \delta \mapsto \sup \{ |f(x)-f(y)| \: : \: |x-y| \leq \delta \}$ d'une fonction numérique $f$ uniformément continue tend vers 0 lorsque $\delta$ tend vers 0 (dans la définition de l'uniforme continuité on voit que le $\delta$ ne dépend que du $\varepsilon$ et on peut donc le faire tendre vers 0), mais je n'arrive pas à écrire une démonstration rigoureuse de cette limite, autant facile que celui puisse paraître... :-( quelqu'un aurait une idée svp ?

gebrane · June 2018

Ecrit la définition de la continuité uniforme pour t'aider

Blackbird · June 2018

Eh bien, $\forall \varepsilon >0 \: , \: \exists \delta >0 \: , \: \forall x,y \: : \: |x-y| \leq \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|\leq \varepsilon$, mais ensuite ? Il faudrait faire tendre $\delta$ vers 0 mais le il existe précédent le $\delta$ nous en empêche n'est-ce pas ? Ou alors faire tendre $x$ vers $y$ ? Le fait est que dans le module de continuité c'est $\varepsilon$ qui est une fonction de $\delta$ alors que dans l'uniforme continuité c'est l'inverse. Désolé la solution a l'air vraiment simple pourtant mais je ne comprends pas... ^^

gebrane · June 2018

Je l’écris comme:
$$\forall \varepsilon >0 \: , \: \exists \eta >0 \: , \: \forall x,y \: : \: |x-y| \leq \eta \Rightarrow |f(x)-f(y)|\leq \varepsilon$$

Soit $\omega_f( \delta)= \sup \{ |f(x)-f(y)| \: : \: |x-y| \leq \delta \}$

Démontre si $\delta <\eta $ alors $\omega_f( \delta)\leq \epsilon$ ;-)