Intégration via changement de variables
Bonsoir,
J'ai quelques questions relatives au calcul intégral et plus particulièrement, aux changements de variables.
Premièment, pour calculer l'intégrale $\int_0^1 \frac{1}{1 + \sqrt{x}} \ dx$, on pose $y = \sqrt{x}$ tandis que pour calculer l'intégrale $\int_0^1 \sqrt{1 - x^2} \ dx$, on ne pose pas $y$ est égal à quelque chose mais bien $x = \sin(y)$. Je pensais qu'il fallait toujours poser $x = g(y)$ lors d'un changement de variables, comment se fait-il que l'on puisse poser $y = ...$ ?
Par la suite, j'ai entendu quelques professeurs dire que, une fois avoir posé $x = \sin(y)$ par exemple, il était peu rigoureux d'écrire $dx = \cos(y) \ dy$, j'aimerais savoir pourquoi est-ce peu rigoureux ?
Enfin, pour écrire la dérivée d'une fonction $f$, on peut utiliser la notation $Df$ voire $D_xf$ ou bien $\frac{df}{dx}$, mais quelle est la différence entre $D_xf$ et $\frac{df}{dx}$ ?
Je vous remercie.
J'ai quelques questions relatives au calcul intégral et plus particulièrement, aux changements de variables.
Premièment, pour calculer l'intégrale $\int_0^1 \frac{1}{1 + \sqrt{x}} \ dx$, on pose $y = \sqrt{x}$ tandis que pour calculer l'intégrale $\int_0^1 \sqrt{1 - x^2} \ dx$, on ne pose pas $y$ est égal à quelque chose mais bien $x = \sin(y)$. Je pensais qu'il fallait toujours poser $x = g(y)$ lors d'un changement de variables, comment se fait-il que l'on puisse poser $y = ...$ ?
Par la suite, j'ai entendu quelques professeurs dire que, une fois avoir posé $x = \sin(y)$ par exemple, il était peu rigoureux d'écrire $dx = \cos(y) \ dy$, j'aimerais savoir pourquoi est-ce peu rigoureux ?
Enfin, pour écrire la dérivée d'une fonction $f$, on peut utiliser la notation $Df$ voire $D_xf$ ou bien $\frac{df}{dx}$, mais quelle est la différence entre $D_xf$ et $\frac{df}{dx}$ ?
Je vous remercie.
Réponses
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Bonjour.
Dans un bon cours sur l'intégration par changement de variable, on voit les deux interprétations de la formule
$$\int_a^b f(g(t))\,g'(t) \, dt=\int_{f(a)}^{f(b)} f(u)\, du$$
Qui n'est, au plus bas niveau, qu'une réécriture à l'aide de la définition de l'intégrale d'une fonction dérivée et de la formule de dérivation des fonctions composées. Mais se généralise.
La formule se lisant "dans les deux sens", il n'y a pas plus de difficultés à prendre u=g(t) qu'à prendre g(t)=u.
Pour le "peu rigoureux", j'attends des explications de ceux qui le disent. Quant aux notations que tu évoques, je ne connais que la dernière (notation de Leibnitz). Mais, si c'est précisé, je ne vois pas de problème à les utiliser. Au dessus, j'ai utilisé le traditionnel ' (utilisé depuis 4 siècles). Df ne pose aucun problème de notation, $D_xf$ n'a pas trop de sens, tout comme $\frac{df}{dx}$, mais le contexte (f confondue avec f(x), x variable conventionnelle) permet normalement de comprendre. D'autres que moi n'aiment pas.
Cordialement. -
Je vous remercie pour ces précisions.
En ce qui concerne le peu rigoureux, je n'ai malheureusement aucune idée de ce que les profs voulaient dire par là. Selon moi, ils disaient ça car en tant qu'étudiants, on ne nous a jamais clairement dit ce que signifiait le fameux $dx$ à la fin de toute intégrale et que l'on se retrouve à manipuler quelque chose que nous ne savons pas définir.
J'ai longtemps utilisé la notation ' jusqu'à ce que la notion de fonctions de plusieurs variables soit introduite. En mathématiques, la dérivée partielle d'une fonction par rapport à sa première variable évaluée en le point $(x_1, ..., x_n)$ était notée $\left(D_{x_1} f \right)(x_1, ..., x_n)$ alors qu'en physique, on utilisait la notation $\left. \frac{\partial f}{\partial x_1} \right|_{x_2, ..., x_n}$ signifiant que l'on dérive $f$ par rapport à $x_1$, les autres variables sont quant à elles considérées constantes.
Mais comment est-ce qu'une notation peut "avoir peu de sens" ? Si le contexte est clair et que les notions sont soigneusement définies, on pourrait utiliser une notation tout à fait particulière de la dérivée que ça ne changerait pas grand chose, non ? -
Il est tout à fait rigoureux d'écrire $x = f(y), dx = f'(y)dy$ à condition de savoir ce que sont les différentielles.
En général on ne voit plus réellement les différentielles durant les premières années à l'université (il faut attendre le cours de géométrie différentielle).
Tes professeurs te disent probablement que c'est "peu rigoureux" simplement car tu n'as pas encore vu le background nécessaire pour le rendre rigoureux.
Cela dit rien ne t'empêche de l'écrire sur un brouillon, comme tout le monde. :-D -
Tibsoo :
On utilise des fonctions sinusoïdales : $f: t\mapsto A sin(\omega t + \varphi)$. Que veut dire $\frac{df}{dx}$ ? par contre, tout le monde, dans ce contexte, comprendra $\frac{df}{dt}$, voire, si $x=f(t),\,\frac{dx}{dt}$.
Donc ce n'est pas la notation qui a un sens (f' en a un indépendamment du contexte, si f est une fonction numérique), mais nous qui lui en donnons un.
Cordialement.
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