Intégrale de $(\ln (\sin t))^2$

Chaurien
Chaurien
dans Analyse
Bonjour.
J'ai été confronté au calcul de $\quad\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\ln\sin\theta)^{2}d\theta$.
J'ai trouvé la réponse : $\frac{\pi ^{3}}{24}+\frac{\pi }{2}(\ln 2)^{2}$ dans :
Gradshteyn I. S., Ryzhik S. (eds.), Table of integrals, series, and products (7 ed., A. P., 2007), 4.225 (7), p. 531.
J'ai trouvé sur Internet une démonstration de ce résultat, qui utilise une intégrale sur un contour avec la fonction $\log$ dans le domaine complexe.
Quelqu'un connaîtrait-il une démonstration plus élémentaire, disons niveau Math-Spé ?
Merci et bonne journée, et vive le Soleil !
Fr. Ch.

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    Fin de Partie a mis plusieurs références dans ce fil.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Chaurien:

    On peut le faire de façon élémentaire (cf. http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1670994,1672202#msg-1672202 ) mais modulo le fait qu'il faille savoir calculer/admettre que:

    $\displaystyle \int_0^{1}\frac{\ln^2 x}{1+x^2}dx=\frac{\pi^3}{16}$


    PS:

    On a déjà parlé de cette intégrale ici.
    J'ai, si je me rappelle bien, une démonstration "élémentaire" de ce résultat mais elle utilise des intégrales doubles.
    Autrement on peut la calculer en faisant apparaître la dérivée seconde d'une fonction Bêta d'Euler.
  • Chaurien
    Chaurien
    J'étais certain que l'ami FDP avait ça dans sa besace pleine de merveilleuses intégrales.
    Grand merci, je vais regarder.
    Fr. Ch.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Pour une preuve "élémentaire" de ,

    $\displaystyle \int_0^{1}\frac{\ln^2 x}{1+x^2}dx=\frac{\pi^3}{16}$

    (qui est exprimable comme fonction Bêta de Dirichlet, par développement en série entière et intégration terme à terme)

    on peut lire:

    http://vixra.org/pdf/1607.0569v1.pdf

    PS:
    Il y a un fil sur le forum qui donne d'autres façons de calculer cette intégrale si je me souviens bien.
  • Guego
    Guego
    En développant en série entière le $\dfrac{1}{1+x^2}$, on se ramène effectivement à $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{\ln^2(x)}{1+x^2}dx = 2 \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{(2n+1)^3}$. De souvenir, cette dernière somme peut se calculer en développant en séries de Fourier la fonction $2\pi$-périodique qui coïncide avec $x\mapsto x^3$ sur $]-\pi;\pi]$.
  • Guego
    Guego
    Je confirme : on développe en séries de Fourier (forme réelle, avec des $\sin$) la fonction $2\pi$-périodique qui coïncide avec $x\mapsto x^3$ sur $]-\pi;\pi]$, et on évalue en $\dfrac{\pi}{2}$.
  • Chaurien
    Chaurien
    Précisions. En effet on a : $\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{(\ln x)^{2}}{1+x^{2}}dx=\int_{0}^{1}\overset{+\infty }{%
    \underset{n=0}{\sum }}(-1)^{n}x^{2n}(\ln x)^{2}dx$.
    Une étude de fonction très simple montre que pour $n\in \mathbb{N}^{\ast }$ et $x\in \lbrack 0,1]$, on a : $0\leq -x^{n}\ln x\leq \frac{1}{en}$, ce qui prouve que la série converge normalement sur $[0,1]$, et autorise l'interversion série-intégrale, d'où :
    $\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{(\ln x)^{2}}{1+x^{2}}dx=\overset{+\infty }{\underset{n=0}{%
    \sum }}(-1)^{n}\int_{0}^{1}x^{2n}(\ln x)^{2}dx=\overset{+\infty }{\underset{%
    n=0}{\sum }}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^{3}}$.

    Pour calculer cette somme de série, on peut développer en série de Fourier la fonction $2 \pi$-périodique $f(x)=x^{2}$ pour $x\in \lbrack -\pi ,\pi ]$ : $\displaystyle x^{2}=\frac{\pi ^{2}}{3}+4\overset{+\infty }{%
    \underset{n=1}{\sum }}(-1)^{n}\frac{\cos nx}{n^{2}}$.
    Comme cette série converge normalement, on peut intégrer terme à terme, d'où : $\displaystyle \frac{x^{3}}{3}-\frac{\pi ^{2}}{3}x=4\overset{+\infty }{\underset{n=1}{\sum }}(-1)^{n}\frac{\sin nx}{n^{3}}$ et comme dit guego l'évaluation en $\frac {\pi}2$ donne la somme en question.

    Mais... les séries de Fourier ayant disparu du paysage de Math-Spé, peut-on trouver la somme de cette série autrement ?
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • jandri
    jandri
    J'ai déjà donné une méthode qui évite de passer par les séries de Fourier.
    Voir par exemple dans ce fil.
  • Chaurien
    Chaurien
    Il me semblait bien que Jandri avait fait ça, mais j'ai parfois du mal à retrouver quelque chose sur le forum.
    Grand merci à Jandri d'avoir bien voulu ainsi nous éviter de chercher.
    Belle journée : je vais nager à Montherlant.
    Et que cette belle journée soit bonne pour tous,
    Fr. Ch.
  • noix de totos
    noix de totos
    Sinon, il y a toujours les résidus :
    $$\sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^3} = - \underset{s=-1/2}{\textrm{Res}} \left( \frac{\pi}{(2s+1)^3 \sin \pi s} \right) = \frac{\pi^3}{16}$$
    et on vérifie facilement que $\displaystyle \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^3} = \frac{1}{2} \sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^3} $.

    Mais est-ce que ça rentre dans ce que voulait Chaurien ? Sans doute pas, mais tant pis...
  • Chaurien
    Chaurien
    Bien sûr, il est toujours intéressant d'avoir des solutions diverses pour un problème.
    J'en cherchais une niveau Math-Spé question boulot, mais je trouve que toute autre méthode est la bienvenue, et spécialement par les résidus : élégant et efficace.
    Bien cordialement,
    Fr. Ch.
  • gebrane
    gebrane
    Bonjour Chaurien

    Si tu as la passion des calculs , change le 2 en 3 ou 4 :-)
    Le 😄 Farceur


  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    @Chaurien, voici une méthode niveau spé :
    Montrer que, pour tout $x$ réel tel que $0<x<\pi$, $\ln(2 \sin x)=-\sum_{k\geq 1} {\cos 2kx\over k}$ et $x-{\pi\over 2}=-\sum_{k\geq 1} {\sin 2kx\over k}.$
    Voilà ! On trouve $\int_0^{\pi/2} dx \ln^2 \sin x = {\pi\over 2} \ln^2 2+ \zeta(2) {\pi\over 4}$ et la valeur de $\zeta(2).$
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