Adhérence et Intérieur d'un ensemble

Pour te débloquer sur la 1, un raisonnement facile est de dire si $x\in [a,b]$ , alors tu peux l'approcher aussi proche que tu veux, par un rationnel dans [a,b]. Donc il existe une suite $a_n$ de rationnels dans [a,b] tel que $|a_n-x|<\frac 1n$ d'où $a_n\to a$ et x un point adhérent à $[a,b]\cap \Q$

edit @Dom

Je pense qu'on peut généraliser pour une topologie quelconque
Soit $A$ une partie dense d'un espace topologique $(E,\mathcal{O})$ et $U\in \mathcal{O}$ alors $\overline{A\cap U}=\overline {U}$

Tu veux parler de $\overline{[0,1]\cap\mathbb Q}$ ?

Comment le prouves-tu ?

Pour la réciproque, il suffit de montrer que tout élément de $[0,1]$ est contenu dans $\overline{[0,1]\cap\mathbb Q}$.

Tu peux aussi revenir à la définition avec "plus petit", en prenant un fermé $F$ strictement contenu dans $[0,1]$ (donc il existe un $x$ de $[0,1]$ qui n'est pas dans $F$) et montrer qu'il ne contient pas $[0,1]\cap\mathbb Q$.

Cordialement.

Regarde ma preuve qui démontre le sens non trivial$[a,b]\subset \overline{[a,b]\cap \Q }$

Ok
Est ce que cette phrase te pose problème
"si $x\in [a,b]$ , alors tu peux l'approcher aussi proche que tu veux, par un rationnel dans [a,b]"

@gerard0
J'ai besoin de ton esprit bien veillant dans ce cadre plus générale.

Soit $A$ une partie dense d'un espace topologique $(E,\mathcal{O})$ et $U\in \mathcal{O}$ alors $\overline{A\cap U}=\overline {U}$

Preuve
il suffit de prouver que $\overline {U}\subset \overline{A\cap U}$
Soit $x\in \overline {U}$ et montrons $x\in \overline{A\cap U}$ c'est à dire que pour tout voisinage ouvert O contenant x, $O\cap ( \Q\cap U)\neq \emptyset$.

Soit donc O un ouvert contenant x, alors $O\cap U\neq \emptyset$ ( puisque $x\in \overline {U}$). De plus $O\cap U$ est un ouvert et puisque A est dense dans E, alors $A\cap (O\cap U)\neq \emptyset$ c'est çà dire $O\cap ( A\cap U)\neq \emptyset$. CQFD

1)S'il n' y a pas de bug dans la preuve , j'aimerais aussi démontrer que $\overline{A\cap F}=F$ avec F un fermé de E. Pour le moment je ne sais si c'est vrai ou non

2) Si on reviens à la topologie usuelle de $\R$ et $A=\Q$ je ne sais pas si on aura $\overline{A\cap B}=\overline{B}$ avec $B$ une partie quelconque de $\R$

Merci

Il me semble que pour deux parties quelconques, on a $\overline{A\cap B}\subset\overline{A} \cap\overline{B}$ , ça répondrait à ta question.

Mais, pareil que Gérard, à vérifier à tête reposée demain matin.

Bien vu gerard0 pour la 2 avec ton contre $B=\R$ / $\Q$. Ce $B$ n'est ni un ouvert ni un fermé de $\R$

Bien vu Gabu, on peut prendre aussi $A=\Q$ et $F=\{\sqrt 2\}$ mais cela me donne l'idée suivante:

Soit $A$ une partie dense d'un espace topologique
$(E,\mathcal{O})$ et $F$ un fermé d’intérieur non vide alors
$\overline{A\cap F}=F$

Preuve

Puisque $F$ est d'intérieur non vide , on peut écrire $F=\overline U$ avec $U$ un ouvert.

On a donc $F=\overline U= \overline{A\cap U}\subset \overline{A\cap F}\subset F$ d'où le résultat.

Oui Gabu
prendre $F=[0,1]\cup{\{2\}}$

et si on prend un fermé d’intérieur non vide et sans points isolés?

Oui la question est : quand F=adh(int(F)) ?, connais-tu des conditions suffisantes?

Merci gerard0 et gabu pour cet echange, @algebras le fil est à toi :-)

Ci haut, il est démontré que si F est un fermé vérifiant $F=\overline{int F}$ alors....
Dans ton cas $F=[0,1]=\overline{]0,1[}$ inspire toi pour donner une démonstration

Je serai très reconnaissant si tu montres ma faute
( aujourd'hui j'ai commis deux fautes dans deux fils)

Mince alors, il ne veut pas m'aider pour trouver ma faute, je ne vais plus dormir sans la savoir, pitié

En consultant ces anciens messages, il ne bouge presque jamais sa plume. Il doit apprendre à "salir" ces mains

On est restés polis. Toi, par contre, tu manques de la plus élémentaire volonté de faire ton travail. On ne le fera pas à ta place (nous, on sait faire).
Donc (conformément à la charte du forum), si tu te mets au travail, que tu produits une preuve (même incomplète)en utilisant les aides que tu as eu, et que tu le présentes ici, on pourra voir à t'aider. mais pour l'instant, on n'a que des questions et des bouts de phrases.