Ensembles majoré, minoré, borné
Salut les matheux. je veux savoir ces ensembles suivants s'il sont majorés, minoré, bornés, ont un plus petit élément, un plus grand élément, une borne supérieure, une borne inférieure.
\begin{align*}
I&=[0,\pi]-\mathbb{Q}\\
J&=]0,\pi[-\mathbb{Q}\\
K&=\{x^{2}+3x+1\mid x \in ]0,1[ \}\\
L&=\bigg\{\dfrac{n+(-1)^{n}}{n+1+\tfrac{(-1)^{n}}{2}}\mid n\in\mathbb{N^{*}}\bigg\}\\
M&=\Big\{\sin\Big(n\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{1}{n}\Big)\mid n\in\mathbb{N^{*}}\Big\}
\end{align*}
\begin{align*}
I&=[0,\pi]-\mathbb{Q}\\
J&=]0,\pi[-\mathbb{Q}\\
K&=\{x^{2}+3x+1\mid x \in ]0,1[ \}\\
L&=\bigg\{\dfrac{n+(-1)^{n}}{n+1+\tfrac{(-1)^{n}}{2}}\mid n\in\mathbb{N^{*}}\bigg\}\\
M&=\Big\{\sin\Big(n\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{1}{n}\Big)\mid n\in\mathbb{N^{*}}\Big\}
\end{align*}
Réponses
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Ils sont tous bornés.
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Pourquoi???
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Justement c'est la question. Qu'as-tu essayé ?
Pour les deux premiers, ne vois-tu pas au moins un majorant et un minorant simples à trouver ? -
Pour K et M ça ne va chercher très loin non plus
-
Mais aidez-moi.
-
Ce sont essentiellement des exercices de compréhension de définition. Commençons par un exercice plus simple. Peux-tu recopier ici ces définitions ? Soit $A$ une partie un sous-ensemble de $\mathbb R$ (modification suite à la remarque justifiée de Gebrane). Que veut dire :
$A$ est majoré,
$A$ est minoré,
$A$ est borné,
$A$ a un plus grand élément,
$A$ a un plus petit élément,
$A$ a une borne supérieure,
$A$ a une borne inférieure ?
Une fois que tu auras recopié correctement les définitions, tu pourras passer à un exercice un peu plus compliqué ; répondre aux questions que tu poses pour les ensembles
$B=[0,\pi[$,
$C={]{-\infty},0]}$. -
Pour une partie A, j'ai toujours écrit
A est majorée
A est minorée
A est bornée
Pour un ensemble A, j'ai toujours écrit
A est majoré
A est minoré
A est borné
Merci Gabu, les règles de français m'échappement souvent
c'est la même faute que je commettais pour une probabilitée les probabilitées ( il faut laisser un seul e)Le 😄 Farceur -
J'ai fait cette solution et je ne save pas est ce qu'elle est vrai ou fausse:
\begin{align*}
I&=[0,\pi]-\mathbb{Q}\\
J&=]0,\pi[-\mathbb{Q}\\
K&=\{x^{2}+3x+1\mid x \in ]0,1[ \}
\end{align*}
Pour I:
-Majoré par: $[\pi,+\infty[$
-Minoré par: $]-\infty,0]$
-Borné: oui
-Le plus grand élément est: $\pi$
-Le plus petit élément: $\textbf{n'existe pas}$
-La borne supérieur est: $\pi$
-La borne inférieur est: 0
Pour J:
-Majoré par: $[\pi,+\infty[$
-Minoré par: $]-\infty,0]$
-Borné: oui
-Le plus grand élément: $\textbf{n'existe pas}$
-Le plus petit élément: $\textbf{n'existe pas}$
-La borne supérieur est: $\pi$
-La borne inférieur est: $0$
Pour K:
-Majoré par: $[5,+\infty[$
-Minoré par: $]-\infty,1]$
-Borné: oui
-Le plus grand élément: $\textbf{n'existe pas}$
-Le plus petit élément: $\textbf{n'existe pas}$
-La borne supérieur est: $5$
-La borne inférieur est: $1$ -
Ok.
1) Revois ce que signifier "majoré par .."
2) on écrit borne supérieure.
Tu vois que tu peux te débrouiller seul, même si, ici, tu n'as donné aucune justification de tes affirmations.
Cordialement. -
Majoré par signifie l'ensemble des majorants.
est ce que la solution est vrai ou fausse??! -
Non , majoré signifie que l'ensemble des majorants est non vide, donc qu'il existe M réel tel que pour tout x élément de I, on a x est inférieur ou égal à M.
Tu t'as mal exprimé, mais l'idée me semble juste, I est majoré par tout élément de $[\pi,+\infty[$.
Il suffit donc d'en exhiber un.
Pour le reste, il me semble que tes résultats sont justes -
Attention, Algebras, on peut souvent montrer qu'un ensemble est majoré sans nécessairement pouvoir définir l'ensemble de ses majorants.
-
j'ai pas compris ce que tu veux dire par: Il suffit donc d'en exhiber un???
-
effectivement. est ce qu'il y a une faute dans ma résolution?
-
Il te suffit de dire : soit x appartenant à I, alors $ x\leq 10$ donc 10 est un majorant de I.
Après, trouver la borne supérieure consiste à trouver le plus petit de ces majorants , ici $\pi$.
Et le chercher plus grand élément consiste à voir si cette borne supérieure est dans l'ensemble I ou non.
Sinon c'est juste ce que tu as trouvé. -
Et pour ces deux ensembles:
\begin{align*}
L&=\bigg\{\dfrac{n+(-1)^{n}}{n+1+\tfrac{(-1)^{n}}{2}}\mid n\in\mathbb{N^{*}}\bigg\}\\
M&=\Big\{\sin\Big(n\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{1}{n}\Big)\mid n\in\mathbb{N^{*}}\Big\}
\end{align*} -
As-tu essayé de voir ce que sont les nombres en cause ? Manifestement ce sont des termes d'une suite, donc si on sait ce qu'elle fait, on en déduit le résultat, sinon on regarde ce que fait la suite (regarder les premiers termes, étudier ses variations et sa limite éventuelle, ...)
Bon travail ! -
J'ai fait cette solution :
Pour $\qquad\displaystyle L=\bigg\{\dfrac{n+(-1)^{n}}{n+1+\tfrac{(-1)^{n}}{2}}\mid n\in\mathbb{N^{*}}\bigg\}$
-Majoré par: $[1,+\infty[$
-Minoré par: $]-\infty,0]$
-Borné: oui
-Le plus grand élément est: n'existe pas
-Le plus petit élément: $0$
-La borne supérieur est: $1$
-La borne inférieur est: 0
Pour $\qquad\displaystyle M=\Big\{\sin\Big(n\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{1}{n}\Big)\mid n\in\mathbb{N^{*}}\Big\}$
-Majoré par: $[1,+\infty[$
-Minoré par: $]-\infty,-1]$
-Borné: oui
-Le plus grand élément: $\textbf{n'existe pas}$
-Le plus petit élément: $\textbf{n'existe pas}$
-La borne supérieur est: $1$
-La borne inférieur est: $-1$
Est-ce qu'elle est vrai ou fausse ?? -
Tu continues à employer hors de propos les mots "majoré" et "minoré". Revois leur signification.
Et toujours aucune justification, donc je ne te crois pas.
Cordialement. -
Plutôt que "Majoré par: $[1,+\infty[$", écris "Ensemble des majorants : $[1,+\infty[$", ça fera plaisir à gerard0.
-
C'est amusant de voir que lorsque c'est moi qui suis strict, tu deviens tout à coup laxiste ! Et ce n'est pas la premoère fois.
Au fait, tu n'as pas répondu à Algebras...
Cordialement. -
Comment tu demontres que $\dfrac{n+(-1)^{n}}{n+1+\tfrac{(-1)^{n}}{2}}\leq 1,\quad \forall n$ ?
( Si tu sais le faire tu peux voir aussi que 2/3 est aussi un majorant)Le 😄 Farceur -
Gébrane,
tu as dû te tromper dans tes calculs, la limite est claire.
Cordialement. -
Voyons, quand n tend vers l'infini, la suite tend vers 1. Pour n=2 on a déjà 6/7. Tu as bien le bon énoncé ?
-
Non, j'ai mémorisé dans ma tête le mauvais énoncé.
Merci.Le 😄 Farceur -
je veux dire par majoré l'ensemble des majorants.
-
A priori, pour savoir si un ensemble est majoré, on n'a pas besoin de l'ensemble des majorants. Donc tu te compliques la vie !
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Bonjour!
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